人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试教学设计

这是一份人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

4.1.1 立体图形与平面图形
第1课时 立体图形与平面图形
一、教学目标
1.使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章全部知识;
2.对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识.
3，逐步培养读图能力，体会数形结合的数学思想。
二、教学重难点
重点：线段、角的表示与计算，余角、补角的性质及应用。
难点：线段、角的表示与计算，余角、补角的性质及应用。
三、教学过程
【知识梳理】
1、几何图形
平面图形∶ 三角形、四边形、圆等。
立体图形∶棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
从不同方向看立体图形
主视图--从正面看 左视图---从左边看 俯视图---从上面看
3、立体图形的平面展开图
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面图形是不一样的。
（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥等的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
4、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点∶线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。线∶面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面∶包围着体的是面，分为平面和曲面。体∶ 几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
二、直线、射线、线段
1. 有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线
2.直线、射线、线段的区别
3. 基本作图
(1) 作一线段等于已知线段；
(2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.
4. 线段的中点
应用格式：C是线段AB的中点，AC ＝BC ＝AB，AB ＝2AC ＝2BC.
5. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短.
6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.
三、角
1. 角的定义
(1) 有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；
(2) 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2. 角的度量
度、分、秒的互化1°＝60′，1′＝60″
3. 角的平分线
应用格式：OC 是 ∠AOB 的角平分线，
∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB.
∠AOB ＝ 2∠BOC ＝ 2∠AOC.
4.余角和补角
（1）定义
①如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角（简称为两个角互余）.
② 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角（简称为两个角互补）.
（2） 性质
① 同角（等角）的补角相等.②同角（等角）的余角相等.
(3) 方位角
① 定义：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向.
② 书写：通常要先写北或南，再写偏东或偏西.
【考点讲练】
考点一 从不同方向看立体图形
[典型例题]例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,画出从正面和左面方向看到的平面图形.
解析：根据图中的数字，可知从前面看有3列，从左到右的个数分别是1，2，1；从左面看有2列，个数都是2 .
解：
[针对练习]1. 如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别得到 a，b，c，d 四个平面图形，把上下两行相对 应立体图形与平面图形用线连接起来．
考点二 立体图形的展开图
[典型例题]例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称
(1)_长方体______，(2)___三棱柱____，(3)___三棱锥_____.
[针对练习]2. 在下列图形中 (每个小四边形皆为相同的正方形)，可以是一个正方体展开图的是 (C )
考点三 线段长度的计算
[典型例题]例3 如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC =15 cm，CB= AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求DE 的长．
解：∵AC =15cm，CB =AC，∴CB =×15=9 cm，∴AB =15+9= 24 cm．
∵D，E 分别为 AC，AB 的中点， ∴AE =AB =12 cm，DC =AC = 7.5 cm，
∴DE = AE－AD =12－7.5 = 4.5 (cm)．
例4 如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2:5:3 三部分，M 为 AD 的中点，MC = 6 cm，求线段 BM 和 AD 的长．
提示：题目中线段间有明显的倍分关系，且和差关系较为复杂，可以尝试列方程解答.
解：设 AB = 2x cm，BC = 5x cm，CD = 3x cm，则 AD = AB+BC+CD =10x cm.
∵M 是 AD 的中点， ∴AM = MD =AD = 5x cm.
由 MC + CD= M D得，3x + 6 = 5x. 解得 x = 3.
故 BM = AM－ AB =5x－2x = 3x = 3×3 = 9 (cm)， AD =10x =10×3 = 30 (cm)．
例5 点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 AC，BC的中点.
如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段MN的长；
解：∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM＝AC＝4 (cm)，CN＝BC＝3 (cm)，
∴MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm).
若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm，其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明理由；
猜想：MN = a cm.
证明：同(1)可得CM ＝ AC ，CN ＝BC，
∴ MN ＝ CM＋CN ＝AC＋BC＝(AC＋BC) ＝a (cm).
(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC =b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想 MN 的长度吗？请画出图形，并说明理由.
猜想：MN=b cm.
证明：根据题意画出图形，由图可得MN = MC－NC=AC－BC = (AC－BC) =b (cm)．
[针对练习]3. 如图：线段 AB = 100 cm，点 C，D 在线段 AB 上. 点 M 是线段 AD 的中点，MD = 21 cm，BC = 34 cm . 则线段 MC 的长度为___45cm_______.
4. 如图：AB =120 cm，点C，D在线段AB上，BD = 3BC，点 D 是线段 AC 的中点. 则线段 BD 的长度为____72cm__.
5. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB =12 cm，BC =4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线 段 MN 的长度.

解：如图①，当 C 在 AB 间时，∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点，
∴ BM = AB =×12 = 6 (cm)， BN = BC =×4 = 2 (cm)，
∴ MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm).
如图②，当C在线段AB外时，∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点，
∴ BM =AB =×12 = 6 (cm)，BN =BC =×4 = 2 (cm)
∴ MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm).
[方法总结]无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识.
考点四 关于线段的基本事实
[典型例题]例6 如图，是一个三级台阶，A 和 B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.若这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B 点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？

解：如图，将台阶面展开成平面图形. 连接 AB 两点，因为两点之间线段最短，所以线段B 为蚂蚁爬行的最短路线.
[变式训练]6. 如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面爬到B点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬行的最短路线.
考点五 角的度量及角度的计算
[典型例题]例7 如图，BD平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2︰5 两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数.
解：设∠ABE = 2x°，则∠CBE = 5x°,∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°.
∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠ABC =3.5x°.
∵∠ABE+∠DBE =∠ABD ，即2x + 21= 3.5x.
解得 x = 14. ∴ ∠ABC = 7x°= 7×14°= 98 °.
例8 如图，∠AOB是直角， ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1) 当∠AOC=50°时，求∠MON的大小；
提示：先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM，∠CON，然后根据∠MON=∠COM－∠CON代入数据进行计算即可得解.
解：∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，∴∠BOC =∠AOB+∠AOC= 90°+50°=140°，∵ON是∠AOC的平分线， OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM =∠BOC = ×140°=70°，∠CON=∠AOC =×50°= 25°，∴∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°.
(2) 当∠AOC＝α 时， ∠MON等于多少度？
解：∠BOC=∠AOB+∠AOC =90°+α，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC =(90°+α)，∠CON=∠AOC =α，
∴∠MON=∠COM－∠CON=(90°+α)－α=45°.
(3) 当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？
解：不会发生变化.由(2)可知∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半.
[针对练习]7. 若∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.25°，则 ( A )
A. ∠A＞∠B＞∠C B. ∠B＞∠A＞∠C
C. ∠A＞∠C＞∠B D. ∠C＞∠A＞∠B
8. 19点整时，时钟上时针与分钟 之间的夹角是 ( C )
A. 210° B. 30° C. 150° D. 60°
9. 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度数．
解：有两种情况：
如图①所示：∠AOC =∠AOB+∠BOC =50°+10°=60°；

如图②所示：∠AOC =∠AOB－∠BOC=50°－10°=40°.
综上所述，∠AOC的度数为60°或40°．
考点六 余角和补角
[典型例题]例9 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30º，求∠α，∠β．
提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答.
解：设∠α＝xº，则∠β＝180º－xº．根据题意 ∠β＝2(∠α－30º)，
得 180－ x＝2(x －30)，解得 x＝80．
所以 ，∠α＝80º，∠β＝100º．
例10 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠FOD=90°．
(1) 写出图中所有与∠AOD互补的角；
解：∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∵∠FOD=90°，
∴∠COF=180°－∠FOD=90°.
又∵∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－∠EOF，
∠DOE=∠FOD－∠EOF=90°－∠EOF，
∴∠AOC=∠DOE.∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2) 若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
解：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF =∠AOE=×120°=60°.
由(1)知，∠COF=90°， ∴∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－60°=30°.
由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD 互补，∴∠BOD=∠AOC=30°(同角的补角相等).
例11 已知∠AOB=90°，∠COD=90°，画出示意图并探究∠AOC与∠BOD的关系．

解：如图①，∵∠AOB = 90°，∠COD = 90°，
∴∠AOC = 90°－∠BOC，∠BOD = 90°－∠BOC，∴∠AOC =∠BOD；
如图②，∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°－∠BOC，∴∠AOC+∠BOD=180°；
如图③，∵∠AOB=90°,∠COD=90°，∴∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD；
如图④，∠AOC+∠BOD=360°－90°×2=180°，∴∠AOC+∠BOD=180°．
综上所述，∠AOC =∠BOD 或∠AOC+∠BOD=180°．
[课件展示]观察下列图形：
[变式训练]10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1) 若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
解：∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD=180°－∠AOD.
∵OA平分∠EOC，∴∠AOC =∠EOC =×70°=35°.
∴∠BOD =∠AOC =35°.
(2) 若∠EOC : ∠EOD=2:3，求∠BOD的度数．
解：设∠EOC=2x°∠EOD=3x°，
由∠EOC+∠EOD=180°得 2x+3x =180°，解得x = 36°.
∴∠EOC = 2x°=72°，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∠BOD=∠AOC=36°．
【课堂小结】
类型
端点个数
延伸性
能否度量
线段
2个
不能延伸
可度量
射线
1个
向一个方向无限延伸
不可度量
直线
无端点
向两个方向无限延伸
不可度量