人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试优秀单元测试巩固练习

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班级 姓名 学号 分数
第四章几何图形初步单元测试 （B卷·能力提升）
（时间：90分钟，满分：120分）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
依次分析题中所给的图形即可得．
【详解】
解：圆柱不能得到三角形的截面；
圆锥能得到三角形的截面；
正方体能得到三角形的截面；
三棱柱能得到三角形的截面；
故所给图形中能得到三角形截面的共有三个，
故选C．
2．(本题3分)一个正棱柱（底面边长都相等），它有30条棱，一条侧棱长为10cm，一条底面边长为1cm，此棱柱的侧面积为（　　）
A．70cm2 B．80cm2 C．90cm2 D．100cm2
【答案】D
【分析】
先算出是几棱柱，在计算侧面积即可；
【详解】
解：∵一个正棱柱（底面边长都相等），它有30条棱，
∴，
∴这个正棱柱是正十棱柱，
∴棱柱的侧面积；
故选D．
3．(本题3分)如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠BOC=30°，则∠AOD等于（ ）

A．10° B．150° C．140° D．160°
【答案】B
【分析】
从图形可以看出，∠AOD的度数正好是两直角相加减去∠BOC的度数，从而问题可解．
【详解】
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝30°
∴∠AOD＝∠AOB＋∠COD−∠BOC＝90°＋90°−30°＝150°．
故选B．
4．(本题3分)下列角中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，据此分析即可
【详解】
根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，
A、B、D选项中，点为顶点的角存在多个，故不符合题意
故选C
5．(本题3分)在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置关系是（ ）．
A．任意三点都不共线． B．有且仅有三点共线．
C．有两点在另外两点确定的直线外． D．以上答案都不对．
【答案】B
【分析】
分别画出四点共线，三点共线，和两点共线的图形，然后找出满足题意的图形即可．
【详解】
解：
如图，因为仅能画出四条直线，所以选图（2），

故选B．
6．(本题3分)数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2021厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）
A．2021 B．2022 C．2021或2022 D．2020或2019
【答案】C
【分析】
分线段AB的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．
【详解】
解：依题意得：
①当线段AB起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2021厘米长的线段盖住2022个整点，
②当线段AB起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2021厘米长的线段盖住2021个整点．
故选C．
7．(本题3分)如图，已知点C，D在线段AB上．嘉嘉：若，则；淇淇：若，则，下列判断正确的是（ ）

A．两人均正确 B．两人均不正确
C．只有嘉嘉正确 D．只有淇淇正确
【答案】A
【分析】
根据线段的和差关系，即，进而判断即可
【详解】
若，
，
则，
嘉嘉正确
若，
，
则，
淇淇正确
故选A
8．(本题3分)如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠COD、∠BOD的度数， 分两种情况：射线OA在直线CE的左上方和射线OA在直线CE的右下方一一加以计算即可．
【详解】
∵平分，
∴∠COD=∠BOD=∠BOC=28°
当射线OA在直线CE的左上方时，如左图所示
∵和互余
∴AO⊥OD，即∠AOD=90°
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+28°=118°
当射线OA在直线CE的右下方时，如右图所示

∵和互余
∴∠COD+∠AOC=90°
∴∠AOC=90°-28°=62°
∴∠AOB=∠BOC-∠AOC=62°-56°=6°
故选：D．
9．(本题3分)如图，是的平分线，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义及已知条件即可求解．
【详解】
解：设∠DOB=k，
∵，
∴∠BOC=2k，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠COA=∠BOC=2k，
∴∠AOD=∠DOB+∠BOC+∠COA=5k，
∵∠BOD=18°，
∴∠AOD=5×18°=90°，
故选：B．
10．(本题3分)下列说法一定正确的是 （ ）
①若几个角的和为180°，则这几个角互为补角．
②线段和线段不是同一条线段．
③两点之间线段最短
④若，则点是线段的中点
A．③ B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】
解答此题，要熟悉直线、射线、线段的概念，结合图形更易解答．
【详解】
解：①若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，故说法①错误；
②线段和线段是同一条线段，故说法②错误；
③两点之间线段最短，故说法③正确；
④若，则当A、B、P在同一条直线上时，点是线段的中点，故说法④错误
所以，正确的说法是③，
故选：A
二、填空题(共28分)
11．(本题4分)如图，直线与直线相交于点，，射线，则度数为___________．

【答案】或
【分析】
根据条件求得∠COB的度数，然后根据∠BOE=∠COE-∠COB即可求解．
【详解】
解：如图，

∵
∴
∵
∴
∴∠BOE=∠COE-∠COB=90°-60°=30°
同理，如图，当点E′在EO的延长线上时，∠BOE′=180°-30°=150°

故答案是：30°或150°．
12．(本题4分)某校下午放学的时间是4：30，此时时针与分针夹角的度数为______．
【答案】45°
【分析】
根据钟面平均分成12份，可得每份是30°，4点30分时，时针分针相差1.5格，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】
解：4：30时，时针与分针的夹角的度数是30°×1.5＝45°，
故答案为：45°．
13．(本题4分)如图，∠1＝，∠AOB＝90°，点C，O，D在同一条直线上，则∠2等于_____________．

【答案】
【分析】
先根据∠1＝，∠AOB＝90°，求出∠BOC的度数，再利用平角求出∠2的度数，即可解答．
【详解】
解：∵∠1＝，∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠1＝90°﹣＝，
∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣＝．
故答案为：．
14．(本题4分)若∠α的2倍比它的补角少30°，那么∠α＝_____°．
【答案】50
【分析】
根据补角的定义列式求解即可；
【详解】
根据题意可得，∠α的补角为，
∴，
解得：；
故答案是：．
15．(本题4分)如图，点D是线段的中点，点E是线段的中点，已知，则线段_______．


【答案】2．
【分析】
根据中点求出AB长，再用线段的和差求AC即可．
【详解】
解：∵点D是线段的中点，，
∴
∵，
∴；
故答案为：2．
16．(本题4分)已知A、B、C三点在一条直线上，，且，则线段的长为____________cm．
【答案】4或12
【分析】
分点C在线段AB之间和点B在BA的延长线上两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：若点C在线段AB之间，如下图：

∵，且，
∴，
∴；
若点C在线段BA的延长线上，如下图：

∵，且，
∴，
∴；
故答案为：4或12．
17．(本题4分)如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，这个盒子容积为__________．

【答案】6
【分析】
根据长方体纸盒的表面展开图得到长方体的长、宽、高，故可求解．
【详解】
解：3-1=2，5-2=3
∴长方体的长、宽、高分别为1、2、3
∵，
则这个盒子的容积为6
故答案为：6．
三、解答题(共62分)
18．(本题6分)如图，已知线段AC上有一点B，BC=3，F是BC的中点，且AC=5BF，点E在AB上，EB=2AE，求线段EF的长．

【答案】
【分析】
根据线段中点的性质求出，根据题意求出，得到，结合图形计算即可．
【详解】
解：为线段的中点，
，
，
，
，
在线段上，且，
，
，
．
19．(本题6分)下图是用6个完全相同的小正方体搭成的几何体
（1）请在网格中分别画出从正面、左面观察该几何体得到的平面图形并涂上阴影；
（2）若现在还有一些相同的小正方体可添加在该几何体上，要保持这个几何体从正面和左面观察得到的平面图形不变，则最多可以添加_______个小正方体．

【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）根据三视图的画法画出从正面看、从上面看所得到的图形；
（2）在俯视图的各个位置上摆放的最多数量即可．
【详解】
解：（1）从正面、上面观察该几何体所得到的图形如图所示：

（2）在第一层第二行第二列和第三列各加一个；第二层第一列第一行加一个，第二列第二行加1个，
2+1+1=4（个）．
故最多可再添加4个小正方体．
故答案为：4．
20．(本题6分)如图，∠AOB的平分线OM，ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线．某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来．

【答案】正确，理由见解析
【分析】
利用角的平分线，角的和差关系计算即可．
【详解】
解：正确，理由如下：
∵∠AOB的平分线OM，
∴∠AOM＝∠MOB
又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=（∠BON－∠MON） －∠AON
即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON
∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON
∴∠MON＝（∠BON－∠AON）．
21．(本题8分)已知点C，D是线段AB上两点，点M，N分别为AC，DB的中点．
（1）如图，若点C在点D的左侧，AB＝12，CD＝5，求MN的长．
（2）若AB＝a，CD＝b，请直接用含a，b的式子表示MN的长．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先根据AC+CD+DB=AB，计算AC+DB，再根据MN=MC+CD+DN，线段的中点计算即可；
（2）利用（1）的结论一般化即可．
【详解】
（1）如图，∵点M，N分别为AC，DB的中点,
∴AM=MC= AC，DN=NB= DB，
∴MC+DN=AC+DB=（AC+BD）=（AB-CD），

∴MN=MC+CD+DN=（AB-CD）+CD=（AB+CD），
∵AB＝12，CD＝5，
∴MN= （12+5）=；
（2）∵点M，N分别为AC，DB的中点,
∴AM=MC= AC，DN=NB= DB，
∴MC+DN=AC+DB=（AC+BD）=（AB-CD），
∴MN=MC+CD+DN=（AB-CD）+CD=（AB+CD），
∵AB＝a，CD＝b，
∴MN=．
22．(本题8分)如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠COE＝20°，则∠DOB的度数为　 　°；
（2）将图1中的∠COD放置图2的位置，其他条件不变，探究∠COE和∠DOB之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）40；（2）∠DOB＝2∠COE，理由见解析
【分析】
（1）根据∠COD是直角，∠COE＝20°可得∠EOD＝70°，由OE平分∠AOD，可得∠AOD＝140°，从而可得∠DOB＝40°．
（2）先根据∠COE与∠AOD之间的关系转化出∠AOD＝180°﹣2∠COE，再根据∠DOB＝180°﹣∠AOD这一关系代入化简即可得出∠DOB＝2∠COE．
【详解】
解：（1）∵∠COD是直角，∠COE＝20°，
∴∠EOD＝70°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠EOD＝140°，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝40°．
故答案为：40．
（2）∠DOB＝2∠COE．
∵∠COD是直角，OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣∠AOD，
∴∠AOD＝180°﹣2∠COE，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD
＝180°﹣（180°﹣2∠COE）
＝2∠COE．
23．(本题8分)已知，，平分，平分.

（1）如图，当、重合时，求的值；
（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）35°；（2）是定值，35°
【分析】
（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得．
【详解】
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，
∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2，

由题意∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），
∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，
∴∠AOE-∠BOF的值是定值．
24．(本题10分)十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体

4

长方体
8

12
正八面体

8
12
正十二面体
20
12
30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________；
（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是___________；
（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值．
【答案】（1）4，6，6，6；（2）；（3）20；（4）14
【分析】
（1）根据上面多面体模型，直接计数可得答案；
（2）根据表格中多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）归纳可得答案；
（3）设这个多面体的面数为，则顶点数为： 再根据列方程，解方程可得答案；
（4）先求解多面体的棱的总数，再根据求解多面体的面数，从而可得的值.
【详解】
解：（1）根据上面多面体模型，可得：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体

4

长方体
8

12
正八面体

8
12
正十二面体
20
12
30
故答案为：4，6，6，6；
（2）从以上表格数据归纳可得：顶点数（V）+面数（F）=棱数（E）+2，
即：.
故答案为：
（3）设这个多面体的面数为，则顶点数为：


即这个多面体的面数为
故答案为：
（4） 简单多面体的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．
共有条棱，
设总面数为：


即
25．(本题10分)（问题）如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB=26cm，则线段DE的长为 cm．
（拓展）在（问题）中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“点C是直线 AB上一点”，其余条件不变，则（问题）中DE的长是否会发生变化？请画出示意图并求解．
（应用）（1）如图②，∠AOB=α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 （用含字母α的式子表示）．
（2）如图③，在（1）中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则（1）中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由．


图①


【答案】问题：13；拓展：DE的长是不会发生变化为13cm，理由见解析；应用：（1）；（2）（1）中的结论成立，理由见解析
【分析】
问题：根据点D，E分别是线段AC，BC的中点，可以得到，，即可得到；
拓展：分C在线段AB的延长线和线段BA的延长线上画出图形进行讨论求解即可；
应用：（1）根据射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，得到∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，即可得到∠MON=∠MOC+∠NOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB；
（2）根据射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，得到∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，即可得到∠MON=∠MOC-∠NOC=（∠AOC-∠BOC）=∠AOB．
【详解】
解：问题：∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴，，
∴，
故答案为：13．

拓展：DE的长是不会发生变化，理由如下：
如图所示，
∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴，，
∴；

如图所示，
∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴，，
∴，

如图所示，
∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴，，
∴，

如图所示，
∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴，，
∴，

综上所述，DE的长是不会发生变化为13cm；
应用：（1）∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC．
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=．
故答案为：；

（2）（1）中的结论成立，理由如下：
∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（∠AOC-∠BOC）=∠AOB=α．