北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值巩固练习

函数的最大(小)值

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列关于函数f(x)＝x＋|x－1|的四种说法正确的是(　　)

A．有最小值，最小值为1

B．没有最小值

C．有最大值，最大值为10

D．没有最大值

解析：选AD　f(x)＝x＋|x－1|＝作出函数的图象如图所示，

由图象可知，f(x)的最小值为1，没有最大值．

2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．0

C．－1  D．2

解析：选A　∵f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上为增函数，∴其最小值为f(0)＝a＝－2，∴其最大值为f(1)＝3＋a＝1.

3．函数y＝2－的值域是(　　)

A．[－2，2]  B．[1，2]

C．[0，2]  D．[－， ]

解析：选C　要求函数y＝2－的值域，只需求t＝(x∈[0，4])的值域即可．

设函数f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(x∈[0，4])，所以f(x)的值域是[0，4]．因为t＝，所以t的值域是[0，2]，－t的值域是[－2，0]．

故函数y＝2－的值域是[0，2]．故选C.

4．若函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)

A．10  B．10或20

C．20  D．无法确定

解析：选C　当k＝0时，不符合题意；

当k>0时，f(x)＝在[2，4]上是减函数，

∴f(x)min＝f(4)＝＝5，∴k＝20，符合题意；

当k<0时，f(x)＝在[2，4]上是增函数，

f(x)min＝f(2)＝＝5，∴k＝10，

又∵k<0，∴k＝10舍去．

综上知k＝20.

5．若∀x∈，都有不等式－x＋a＋1≥0成立，则a的最小值为(　　)

A．0  B．－2

C．－  D．－

解析：选D　设f(x)＝－x＋a＋1，由不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈都成立，可得f(x)min≥0.因为f(x)在上是减函数，所以当x∈时，f(x)min＝a＋，所以a＋≥0，即a≥－，所以amin＝－，故选D.

6．函数f(x)＝在[a，b]上的最大值为1，最小值为，则a＋b＝________．

解析：函数f(x)＝在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减，∴＝1，＝，解得a＝2，b＝4，∴a＋b＝6.

答案：6

7．函数g(x)＝2x－的值域为________．

解析：设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，

∴g(x)＝2t2－t－2＝2－，t≥0，∴当t＝时，ymin＝－，∴函数g(x)的值域为.

答案：

8．记min{a，b}＝若f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

解析：由题意，知f(x)＝易知f(x)max＝f(4)＝6.

答案：6

9．若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2，4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．

解：在[2，4]内，f(x)≤a恒成立，

即a≥x2－2ax＋2在[2，4]内恒成立，

即a≥f(x)max，x∈[2，4]．

又f(x)max＝

(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.

(2)当a>3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a>3.

综上实数a的取值范围是[2，＋∞)．

10．已知函数f＝x2－x－2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)对任意的x∈，f(x)≥x＋ax－恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)令t＝x－1，则x＝2t＋2，

∴f(t)＝(2t＋2)2－(2t＋2)－2＝4t2＋7t＋1，

∴f(x)＝4x2＋7x＋1(x∈R)．

(2)由f(x)≥x＋ax－，得(4x2＋7x＋1)≥x＋ax－，

即ax≤2x2＋3x＋2.

∵x∈，∴a≤2＋3，

令g(x)＝2＋3，x∈，

则a≤g(x)min，

又x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴g(x)min＝2×2＋3＝7，

∴a≤7，

故实数a的取值范围是(－∞，7]．

[B级　综合运用]

11．(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是(　　)

A．f(－3.9)＝f(4.1)

B．函数f(x)的最大值为1

C．函数f(x)的最小值为0

D．函数f(x)是增函数

解析：选AC　根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)＝x－[x]的解析式：

当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f(x)＝x－[x]＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f(x)＝x－[x]＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f(x)＝x－[x]＝x－2.

画出函数f(x)＝x－[x]的图象如图所示．

根据定义可知，f(－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－4＝0.1，即f(－3.9)＝f(4.1)，所以A正确；

从图象可知，函数f(x)＝x－[x]在最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；

根据函数单调性，可知函数f(x)＝x－[x]在特定区间内为增函数，在整个定义域内没有增减性，所以D错误．

12．已知定义在(0，＋∞)上的减函数f(x)满足条件：对任意x，y，且x>0，y>0，总有f(xy)＝f(x)＋f(y)－1，则关于x的不等式f(x－1)>1的解集是(　　)

A．(－∞，2)  B．(1，＋∞)

C．(1，2)  D．(0，2)

解析：选C　令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)－1，得f(1)＝1，所以f(x－1)>1⇒f(x－1)>f(1)．又f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以得1<x<2.故选C.

13．函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值为1，则n－m的最大值为________．

解析：函数f(x)＝x(|x|－2)，

当x≥0时，f(x)＝x2－2x；

当x<0时，f(x)＝－2x－x2.

作出y＝f(x)的图象，

由图象可得当x>0时，x2－2x＝1，解得x＝1＋；

当x<0时，－2x－x2＝－1，解得x＝－1－，

即有f(x)在[－1－，1＋ ]内的最大值为1，最小值为－1，故n－m的最大值为1＋－(－1－)＝2＋2.

答案：2＋2

14．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]．

(1)求f(x)的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值．

解：(1)当a≥1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，最小值g(a)＝f(1)＝3－2a；

当－1<a<1时，f(x)在区间[－1，a]上单调递减，在区间[a，1]上单调递增，最小值g(a)＝f(a)＝2－a2；

当a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，最小值g(a)＝f(－1)＝3＋2a.

综上，g(a)＝

(2)由(1)可知当a≥1时，g(a)单调递减，所以g(a)的最大值为g(1)＝3－2×1＝1；

当－1<a<1时，g(a)在区间(－1，0]上单调递增，在区间[0，1)上单调递减，所以g(a)的最大值为g(0)＝2－0＝2；

当a≤－1时，g(a)单调递增，所以g(a)的最大值为g(－1)＝3＋2×(－1)＝1.

综上，g(a)的最大值为2.

[C级　拓展探究]

15．请先阅读下列材料，然后回答问题．

对于问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．

故当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．

(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；

(2)试研究函数y＝的最值情况；

(3)对于函数f(x)＝(a>0)，试研究其最值情况．

解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4，易知u≠0，

当0<u≤4时，≥，即f(x)≥；

当u<0时，<0，即f(x)<0.

∴f(x)<0或f(x)≥，即f(x)既无最大值，也无最小值．

(2)∵x2＋x＋2＝＋≥，∴0<y≤，

∴函数y＝的最大值为，而无最小值．

(3)对于函数f(x)＝(a>0)，令u＝ax2＋bx＋c，

①当Δ>0时，u有最小值，umin＝<0；

当≤u<0时， ≤，即f(x)≤；

当u>0时，f(x)>0.

∴f(x)>0或f(x)≤，即f(x)既无最大值也无最小值．

②当Δ＝0时，u有最小值，umin＝＝0，结合f(x)＝知u≠0，∴u>0，此时>0，即f(x)>0，f(x)既无最大值也无最小值．

③当Δ<0时，u有最小值，umin＝>0，即u≥>0，

∴0<≤，即0<f(x)≤，

∴当x＝－时，f(x)有最大值，没有最小值．

综上，当Δ≥0时，f(x)既无最大值，也无最小值；

当Δ<0时，f(x)有最大值，此时x＝－，没有最小值．