北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值复习练习题

函数的最大（小）值

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)

A．2 B．

C． D．－

B　[∵函数y＝在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝.]

2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　)

A．[－6，－2] B．[－11，－2]

C．[－11，－6] D．[－11，－1]

B　[函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，

所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；

当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，

所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]

3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A．10,6 B．10,8

C．8,6 D．以上都不对

A　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)最小值＝f(－1)＝6，f(x)最大值＝f(2)＝10.故选A.]

4．函数f(x)＝的最大值是(　　)

A． B．

C． D．

D　[令t＝1－x(1－x)＝2＋≥，则0<f(x)≤，所以f(x)的最大值为.]

5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．90万元 B．60万元

C．120万元 D．120.25万元

C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为

L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，

∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]

二、填空题

6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

4　[因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，

所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，

所以b＝4.]

7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

1　[函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.

故当x＝0时，函数有最小值，

当x＝1时，函数有最大值．

∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，

∴f(x)最大值＝f(1)＝－1＋4－2＝1.]

8．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．

－4　[∵y＝在区间上是减函数，y＝－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝－3x在区间上是减函数，∴f(x)最大值＝f(2)＝－3×2＝－4.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.

(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值．

[解]　(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)最小值＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；

当0＜2a－1＜2，即<a<时，f(x)最小值＝f(2)＝－3.

所以g(a)＝

(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，

∴g(a)≤g＝－3；

又当<a<时，g(a)＝－3，∴g(a)的最大值为－3.

10．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

∵f(0)＝2，∴c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2.

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴2ax＋a＋b＝2x，

∴解得

∴f(x)＝x2－x＋2.

(2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1,1]上恒成立，

即x2－3x＋2－m>0在[－1,1]上恒成立．

令g(x)＝x2－3x＋2－m＝2－－m(x∈[－1,1])，

则g(x)在区间[－1,1]上是减函数，

∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0，

∴m<0，

即实数m的取值范围为(－∞，0)．

11．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2] B．(－∞，2)

C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

A　[由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2；当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.]

12．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是(　　)

A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3

B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3

C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3

D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)

AC　[在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．]

13．(一题两空)已知函数f(x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a＝________，函数y＝f(x)在区间[－2,1]上的值域为________．

1　　[由题知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－<0，故f(x)max＝f(2)＝6＋2a＝8，所以a＝1，则f(x)＝x2＋x＋2＝2＋.因为f(x)的对称轴为直线x＝－∈[－2,1]，且f＝，f(－2)＝4，f(1)＝4，所以所求值域为.]

14．(一题两空)已知函数f(x)＝函数f(x)的最大值为________，最小值为________．

2　－　[作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；

当x＝时，f(x)取最小值为－.

所以f(x)的最大值为2，最小值为－.]

15．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝

(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；

(2)①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．

[解]　(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0；当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a]．

(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，

则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，

所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，

即m(a)＝

②当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)，

此时M(a)＝max{f(0)，f(2)}＝2.

当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)，

此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}，

当a≥4时，34－8a≤2；

当3≤a<4时，34－8a>2，

所以M(a)＝