数学3 函数的单调性和最值学案及答案

这是一份数学3 函数的单调性和最值学案及答案，共25页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；（重点）


2、掌握函数的单调性的定义；（重点）


3、常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用；（重点）


4、用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法。（难点）


学科素养


通过对函数单调性的判断方法，培养学生数形结合的思想和运算的能力。


【知识清单】


函数的单调性


（1）如果对于定义域内某个区间上的 两个自变量的值,，当 时，都有_______，那么就说函数在区间上是增函数；


（2）如果对于定义域内某个区间上的 两个自变量,，当 时，都有 ,那么就说函数在区间上是减函数.


（3）如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有 ；区间叫做函数的 .


2.函数的最值





3.用定义证明函数单调性基本步骤





（2）


（3）


（4）


【基础过关】


1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________.





求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间








【经典例题】


题型一 单调性的证明


例1.判断函数在上的单调性，并证明.











题型二 利用单调性求函数的最值


例2．已知函数


（1）判断函数的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值











【课堂达标】


1．若函数为上的增函数，则实数的值为（ ）


A．B．C．D．


2．函数的减区间是（ ）


A．B．


C．，D．


3．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）





A．B．


C．D．


4．函数的单调递增区间为( )


A．B．C．D．





5．（多选题）下列函数中，在R上是增函数的是（ ）


A．B．C．D．E.


6．（多选题）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）


A．2B．C．1D．0


7．（多选题）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）


A．B．


C．D．


8．函数的单调递增区间是__________.


9．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.


10．已知在上的图像如图所示.





（1）指出的单调区间.


（2）分别指出在区间及上的最大、最小值.


【能力提升】


1．函数的单调递增区间为（ ）


A．B．C．D．


2．函数的递增区间是，则函数的递增区间是（ ）


A．B．C．D．


3．函数的值域为( )


A．B．C．D．


4．函数在（﹣1，2）上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）


A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）


C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）


5．已知定义在上的单调减函数,若,则a的取值范围是( )


A．B．C．D．


6．（多选题）下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）


A．B．C．D．


7．（多选题）已知函数，则（ ）


A．B．C．D．


8．如果函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_________.


9．对于函数()的定义域中任意,()有如下结论:


①;②;③


上述结论中正确结论的序号是______．


10．已知函数.


（1）用分段函数的形式表示该函数；


（2）在右边所给的坐标系中画出该函数的图象；


（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证明).


11．画出求下列函数的图像，并写出单调区间:


(1);(2).






































【参考答案】


【知识清单】


(1)任意，x1f(x2);


严格的单调性，单调区间；


最大值，最小值


（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）结论


【基础过关】


1、答案 [－1,1]和[5,7]


解析 结合图象易知函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．


2、解 (1)由于y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.))


画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．





【经典例题】


例1、函数在上单调递减，在上单调递增


【解析】


【分析】


函数在上单调递减，在上单调递增，用定义进行证明，然后即可求出最值


【详解】


函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：


在上任取，，且.








.∵，


∴，，.∴，∴，


故在上是减函数，同理可证在上是增函数，


【点睛】


用定义证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形（分式一般进行通分，多项式一般分解因式）、判断符号、下结论.


例2、（1）增函数.见解析（2），


【解析】


【分析】


（1）设且，通过作差，因式分解，判断的正负，即可得出结论；


（2）根据（1）中的单调性，即可求解.


【详解】


解：（1）设且，


所以


∵∴，


∴即，在上为增函数.


（2）在上为增函数，则，





【点睛】


本题考查函数单调性的证明，并利用函数的单调性求最值，属于基础题.


[课堂达标]


1．D


【解析】


【分析】


结合一次函数的性质，可选出答案.


【详解】


若，则，此时函数不是上的增函数；


若，则函数为一次函数，


根据一次函数的性质，可知时，函数是上的增函数.


故选：D.


【点睛】


本题考查一次函数的单调性，属于基础题.


2．C


【解析】


【分析】


是反比例函数，由函数图象直接得函数减区间.


【详解】





由图象知单调减区间为，


【点睛】


本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题


单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接．


3．C


【解析】


【分析】


根据单调函数的定义直接得到答案


【详解】


由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是


故选：C


【点睛】


本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题


4．A


【解析】


【分析】


由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为轴,故可得出其单调增区间.


【详解】


∵函数, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴


∴函数的单调增区间为.


故选:A.


【点睛】


本题考查了一元二次函数的单调区间,掌握一元二次函数的对称轴是解题的关键,属于基础题.


5．BD


【解析】


【分析】


选项BCD是基本初等函数，根据所学函数性质可得结果；选项A含绝对值，讨论时可得结果；选项D是分段函数，根据其图像可得结果.


【详解】


选项A，，当时为减函数，不符合题意；


选项B，显然在R上是增函数，符合题意；


选项C，，当时为减函数，不符合题意；


选项D，作出草图如下，实线部分，观察图像可得函数在R上为增函数，符合题意；





选项E，在和上都是减函数，不符合题意.


故选:BD.


【点睛】


本题考查简单函数单调性的判断，是基础题.


6．AB


【解析】


【分析】


根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.


【详解】


依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；


当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．


故选AB．


【点睛】


本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.


7．AB


【解析】


【分析】


根据函数单调性的等价条件进行判断即可．


【详解】


由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为，的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确.


故选：AB


【点睛】


本题主要考查函数单调性的应用，要求熟练掌握函数单调性的几种等价形式．


8．


【解析】


【分析】


首先求出函数的定义域，令，分别求出和的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调递增区间.


【详解】


因为，得，得或，


解得函数的定义域为.


令，在单调递增.


因为函数在单调递增，


由复合函数的单调性知：在单调递增.


故答案为：


【点睛】


本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题.


9．


【解析】


【分析】


求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.


【详解】


对称轴方程为，


在区间上是增函数，所以.


故答案为:.


【点睛】


本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.


10．（1）和为单调递增区间；、和为单调递减区间，


（2）区间上，最大值为，最小值为；区间上，最大值为，最小值为.


【解析】


【分析】


（1）本题首先可以观察函数图像，然后从图像中即可判断出函数的单调区间；


（2）本题首先可以先从图像中确定函数在区间上的最大、最小值，然后确定函数在区间上的最大、最小值.


【详解】


（1）如图，由图像可以得出：


和为单调递增区间；


、和为单调递减区间，


（2）如图，由图像可以得出：


当时，，；


当时，，.


【点睛】


本题考查根据函数图像判断函数的单调区间以及最值，考查学生从图像中提取信息的能力，考查数形结合思想，是简单题.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


去绝对值，将化为分段函数，转化为二次函数的单调区间，即可求解.


【详解】


，


所以递增区间是.


故选:C.


【点睛】


本题考查分段函数的单调性，注意二次函数单调性的应用，属于基础题.


2．B


【解析】


【分析】


函数是函数向左平移5个单位得到的，利用函数在区间是增函，即可得到结论．


【详解】


解：函数是函数向左平移5个单位得到的，


∵函数在区间上是增函数，


∴增区间为向左平移5个单位，即增区间为，


故选B．


【点睛】


本题考查图象的变换，考查函数的单调性，属于基础题．


3．C


【解析】


【分析】


利用函数的单调性求解．


【详解】


易知函数在上单调递减，所以当时，，．所以值域中．


故选：C．


【点睛】


本题考查函数的值域，掌握函数的单调性是解题关键．


4．D


【解析】


【分析】


求出的对称轴，根据二次函数的图像特征，只需对称轴不在区间之间，即可得到关于的不等式，求解即可得出结论.


【详解】


对称轴为，


在上是单调函数，所以或.


故选:D


【点睛】


本题考查二次函数的单调性，对于常见函数的单调性要熟练掌握，属于基础题.


5．D


【解析】


【分析】


利用单调性去掉对应法则后可得关于的不等式组，其解即为a的取值范围.


【详解】


∵的定义域为，∴，即.


∵为减函数，且，


∴即.


∴.


故选:D


【点睛】


本题考查函数不等式，可利用函数的单调性去掉对应法则，从而得到关于参数的不等式组，注意定义域的要求，本题为基础题.


6．AB


【解析】


【分析】


根据基本函数的图象和性质判断.


【详解】


A. 在区间上是增函数，故正确.


B. 在区间上是增函数，故正确.


C. 在区间上是减函数，故错误.


D. 在区间上是减函数，故错误.


故选：AB


【点睛】


本题主要考查基本函数的单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.


7．ACD


【解析】


【分析】


由已知可得的对称轴为，结合二次函数的单调性，逐项验证，即可求解.


【详解】


对称轴为，


且在是增函数，


，选项正确；


，选项错误；


，选项正确；


，选项正确.


故选:ACD.


【点睛】


本题考查二次函数的性质，属于基础题.


8．


【解析】


【分析】


分类讨论，，时由二次函数性质可得．


【详解】


时，满足题意，


时，则，解得．


综上有．


故答案为：．


【点睛】


本题考查函数的单调性，注意最高次系数为0的情形．


9．③


【解析】


【分析】


根据函数的解析式易得①错误,通过举出反例证明②错误,利用作差法比较大小,得到故③正确.由此可得正确答案.


【详解】


解: 对于①,,,


显然,故①不正确;


对于②,取,则,


可得,故②不正确;


对于③,,


,


且,,


,


,故③正确.


故答案为: ③


【点睛】


本题以一个具体函数为例,要验证几个等式和不等式是否成立,着重考查了函数的解析式和简单性质等知识,属于基础题.


10．（1）；（2）图像见解析；（3）定义域为,值域为，既不是奇函数也不是偶函数，单调递减区间为，单调递增区间为.


【解析】


【分析】


（1）,；


（2）函数图象如下图所示：





（3）定义域为,值域为，既不是奇函数也不是偶函数，


单调递减区间为，单调递增区间为.


【详解】


本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质．还考查了数形结合的思想与方法．


（1）根据绝对值的意义，分当x≥1时，当x＜1时两种情况求解，最后再写成分段函数的形式，


（2）每一段都是一次函数，图象是一条直线，在定义域内任取两点作图即可．


（3）根据图象，定义域即看横轴覆盖部分，值域即看纵轴覆盖部分，奇偶性，看是否关于原点对称或关于纵轴对称．单调增区间看上升趋势，单调减区间看下降趋势


11．(1)增区间是和,减区间是和；(2)单调增区间为和,单调减区间为和.


【解析】


【分析】


(1)先画出的图象，再利用翻折变换得到，结合图象的上升与下降可得函数的单调区间.


(2)就和分类讨论后可得的图象，结合图象的上升与下降可得函数的单调区间.


【详解】


(1)令.


作出的图象，保留其在轴上及其上方部分，将位于轴下方的部分翻折到轴上方，得到的图象.


如图所示，由图象可得原函数的增区间是和，减区间是和.





(2)化简得即.


函数图象如图所示，单调增区间为和，单调减区间为和.





【点睛】


本题考查含绝对值符号的函数的单调区间，注意图象变换在函数图象中的应用，也要注意分类讨论思想在处理与绝对值符号有关的函数的图象中的应用，本题属于中档题.
































前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；


(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；


(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的
M为函数y＝f(x)的