数学北师大版 (2019)3 函数的单调性和最值授课ppt课件

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培优课　含参数的二次函数的单调性与最值
第二章　§3　函数的单调性与最值
进一步探讨含参数的二次函数的单调性、最值、恒成立问题.
内容索引
利用单调性求参数的(值)范围

一
　　若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
(－∞，－4]
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4].
延伸探究　在本例中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为______.
－4
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4.
由二次函数的单调性求参数范围时需注意(1)判断开口方向与对称轴的位置.(2)利用单调性确定参数满足的条件.
反思感悟
[4,8)
因为f(x)是R上的增函数，
解得4≤a<8.
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围.
函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).
含参数的二次函数的单调性与最值

二
　　已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.
(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
反思感悟
(1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
　　　设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0与最值有关的恒成立问题

三
　　(1)已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
方法一　令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
方法二　x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，
(2)设函数f(x)＝mx2－mx－1.①若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0，满足题意；
即－4②对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
方法一　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立.
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
方法二　当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
反思感悟
由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.注意a是否取等号.
　　　已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围.
∴a≤0，∴实数a的取值范围是(－∞，0].
课堂小结
1.知识清单： (1)利用单调性求参数的(值)范围. (2)含参数的二次函数的单调性及最值. (3)与最值有关的恒成立问题.2.方法归纳：换元法、数形结合法、分类讨论法.3.常见误区：含参数的二次函数问题分类讨论不彻底.
随堂演练

1.已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则A.f(1)f(1)>f(－2)D.f(1)>c>f(－2)
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二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)c>f(－2).
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2.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[4，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是A.(－∞，－3] B.[－3，＋∞)C.(－∞，5] D.[5，＋∞)
√
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由题设知f(x)的图象开口向上且对称轴为x＝1－a，要使f(x)在[4，＋∞)上单调递增，则1－a≤4，可得a≥－3.
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3.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的取值范围是
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因为函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，所以函数图象的对称轴为x＝2，
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4.若函数y＝x2－2x的定义域为[－1，m]，值域为[－1，3]，则实数m的取值范围是_______.
[1,3]
因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，当且仅当x＝1时取等号，而函数f(x)＝x2－2x的定义域为[－1，m]，值域为[－1,3]，所以m≥1，又f(－1)＝3，所以f(m)＝m2－2m≤3，解得－1≤m≤3，综上可知1≤m≤3.
5.若函数f(x)＝x2＋(m＋1)x＋3在区间(3,5)内存在最小值，则实数m的取值范围是____________.
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(－11，－7)
课时对点练

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1.(多选)若方程x2＋ax＋b＝0的两个根是1和3，则函数f(x)＝x2＋ax＋bA.在(－∞，2)上单调递减B.不等式f(x)<0的解集是{x|1√
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方程x2＋ax＋b＝0的两个根是1和3，则函数f(x)＝x2＋ax＋b图象的对称轴是x＝2，且是开口向上的抛物线，A正确，C错误；方程x2＋ax＋b＝0的两个根是1和3，因此B正确；又－a＝1＋3，a＝－4，b＝1×3＝3，即f(x)＝x2－4x＋3，所以f(2)＝－1为最小值，D正确.
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2.二次函数f(x)＝x2＋2ax－1在区间(－∞，1)上单调递减的一个充分不必要条件为A.a≤0 B.a≤ C.a≤－1 D.a≤－2
√
因为f(x)＝x2＋2ax－1的对称轴为x＝－a，图象开口向上，所以－a≥1，解得a≤－1，所以二次函数f(x)＝x2＋2ax－1在区间(－∞，1)上单调递减的充要条件为a≤－1，所以二次函数f(x)＝x2＋2ax－1在区间(－∞，1)上单调递减的一个充分不必要条件为a≤－2.
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4.已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a>1)的定义域和值域都为[1，a]，则b等于A.7 B.6C.5 D.4
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因为f(x)＝x2－2ax＋b的对称轴为x＝a>1，图象开口向上，所以f(x)＝x2－2ax＋b在[1，a]上单调递减，因为f(x)＝x2－2ax＋b在[1，a]上的值域为[1，a]，
解得a＝2或a＝1(舍)，将a＝2代入1－2a＋b＝a，可得1－4＋b＝2，解得b＝5.
5.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，若∀x∈[1,2]，恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围为
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方法一　若∀x∈[1,2]，恒有f(x)≥0，只需f(x)min≥0，设函数f(x)＝x2＋ax＋3在[1,2]上的最小值为g(a)，则
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方法二　若∀x∈[1,2]，恒有f(x)≥0，
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(－∞，－2]∪[1，＋∞)
所以要使函数f(x)在(m，m＋1)上单调递增，则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞).
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(－∞，0]
7.设f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[0,2]，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围为___________.
因为f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，当a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝1，符合题意；当08.已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)与y＝g(x)在区间[a，b]上都是严格增函数或都是严格减函数时，就把区间[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]是函数y＝(x－a)2的“不动区间”，则实数a的取值范围为________.
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y＝(x－a)2关于y轴对称的函数为h(x)＝(－x－a)2＝(x＋a)2，其中y＝(x－a)2在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，h(x)＝(x＋a)2在(－∞，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，故要想区间[1,2]是函数y＝(x－a)2的“不动区间”，需要满足以下两种情况：
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综上，实数a的取值范围为[－1,1].
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9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，对称轴为x＝2，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，∴f(x)的最大值是35.
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(2)求使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数的实数a的取值范围.
由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
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10.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出其单调区间；
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所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].
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(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k故k的取值范围是(－∞，1).
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因为f(x)在R上单调递减，
12.(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称.根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是A.在x轴上截得的线段的长度是2B.与y轴交于点(0,3)C.顶点是(－2，－2)D.过点(3,0)
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13.已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是
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由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
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由f(x)的解析式可得f(x)的图象如图所示，由[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a<0，得[f(x)－a][f(x)－1]<0，当a＝1时，[f(x)－1]2<0，不等式无解；当a<1时，由[f(x)－a][f(x)－1]<0得a1时，由[f(x)－a][f(x)－1]<0得11
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若不等式恰有两个整数解，则整数解为－1和－2，又f(－2)＝6，f(－3)＝12，∴61
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所以f(x1)－f(x2)<－4(x1－x2)，即f(x1)＋4x11
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16.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；
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设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，又f(0)＝1，所以c＝1.因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
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(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象的上方，所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立，即x2－3x＋1>m在区间[－1,1]上恒成立.
因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).