人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性课时作业

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性课时作业，共5页。

1．过下列两点的直线不存在斜率的是( )
A．(4，2)与(－4，1) B．(0，3)与(3，0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2，2)与(－2，5)
解析：选D 当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在．
2．(多选)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是( )
A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
解析：选AD 当a<0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递减，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.当a>0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递增，当x＝0时，函数取得最小值为1，当x＝2时，函数取得最大值为2a＋1.故选A、D.
3.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：选B 由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．
4．设函数f(x)＝eq \f(2x,x－2)在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq \f(m2,M)＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(8,3)
解析：选D 易知f(x)＝eq \f(2x,x－2)＝2＋eq \f(4,x－2)，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋eq \f(4,3－2)＝6，m＝f(4)＝2＋eq \f(4,4－2)＝4，所以eq \f(m2,M)＝eq \f(16,6)＝eq \f(8,3).
5．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为( )
A．1 B．2
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
解析：选B 当x≥1时，函数f(x)＝eq \f(1,x)为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.
6．过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．
解析：因为割线AB的斜率kAB＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(（Δx＋2）2－22,Δx)＝eq \f(（Δx）2＋4Δx,Δx)＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1.
答案：4.1
7．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq \f(f（b）－f（a）,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．
解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图像斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误．
答案：①②③
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1答案：(1，3]
9．求函数f(x)＝eq \f(1,\r(x))在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq \f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq \f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq \f(1－1－Δx,（1＋\r(1＋Δx)）\r(1＋Δx))＝eq \f(－Δx,（1＋\r(1＋Δx)）\r(1＋Δx))，
∴函数f(x)＝eq \f(1,\r(x))在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(－1,（1＋\r(1＋Δx)）\r(1＋Δx)) .
10．已知函数f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，求a的值．
解：(1)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，则
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,x2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,x1))),x2－x1)
＝eq \f(\f(1,x1)－\f(1,x2),x2－x1)＝eq \f(1,x1x2)，
由x1，x2∈(0，＋∞)知，x1x2＞0，eq \f(1,x1x2)＞0，
∴eq \f(Δy,Δx)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上为增函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,a)－2＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,2)＝2，
解得a＝eq \f(2,5).
[B级 综合运用]
11．(多选)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，且aA．若f(x)在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f(x)max＝f(c)
B．若f(x)在[a，c)上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f(x)max＝f(c)
C．若f(x)在(a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f(x)max＝f(c)
D．若f(x)在[a，c]上是增函数，在(c，b)上是减函数，则f(x)max＝f(c)
解析：选BD 若f(x)在[a，c]上是增函数，则f(c)≥f(x)，x∈[a，c]；
在[c，b]上是减函数，则f(c)≥f(x)，x∈[c，b]，
所以f(x)max＝f(c)，故A正确；
若f(x)在[a，c)上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f(c)，
如f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2，－1≤x<0，,－x＋1，0≤x≤1，))故B错误；
若f(x)在(a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值为f(c)，故C正确；
若f(x)在[a，c]上是增函数，在(c，b)上是减函数，函数的最大值不一定为f(c)，故D错误．故选B、D.
12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
解析：选D f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.
13．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4，6)．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))为如图中的实线部分．
观察图像知，两图像的交点即为f(x)图像的最高点，故f(x)的最大值为6.
答案：6
14．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝eq \f(x,x＋2).
设x1，x2∈(－∞，－2)，且x1≠x2，则
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(x2,x2＋2)－\f(x1,x1＋2),x2－x1)＝eq \f(x2（x1＋2）－x1（x2＋2）,（x2－x1）（x1＋2）（x2＋2）)
＝eq \f(2,（x1＋2）（x2＋2）).
由x1，x2∈(－∞，－2)知，x1＋2＜0，x2＋2＜0，
所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，即eq \f(Δy,Δx)＞0，
所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1≠x2，则
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(x2,x2－a)－\f(x1,x1－a),x2－x1)＝eq \f(x2（x1－a）－x1（x2－a）,（x2－x1）（x1－a）（x2－a）)
＝eq \f(－a,（x1－a）（x2－a）).
由a＞0，x1，x2∈(1，＋∞)，且eq \f(Δy,Δx)＜0知(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1，故0＜a≤1，
所以a的取值范围为(0，1]．
[C级 拓展探究]
15．已知函数y＝x＋eq \f(t,x)有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0, eq \r(t)]上是减函数，在[eq \r(t)，＋∞)上是增函数．已知f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域．
解：f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)＝2x＋1＋eq \f(4,2x＋1)－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋eq \f(4,u)－8，u∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤eq \f(1,2)时，f(x)单调递减，所以递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))；当2≤u≤3，即eq \f(1,2)≤x≤1时，f(x)单调递增，所以递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
由f(0)＝－3，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4，f(1)＝－eq \f(11,3)，得f(x)的值域为[－4，－3]．