《函数的单调性和最值(1)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《函数的单调性和最值（1）》教学设计

1．理解增函数、减函数、最值等概念．

2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力．

3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯．

重点：函数单调性的概念．

难点：对函数单调性概念中关键词的理解．

一、新课导入

复习函数的概念，回答以下问题：

1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么?

2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点?

3．函数的定义域怎样确定?如何表示?

4．函数研究的主要内容是什么?

5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征?

（1）  （2）  （3）

1．函数概念：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作．函数的三要素：定义域、对应法则、值域．

2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；

图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势；

列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值．

3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示．

4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质．

5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小．

设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比．

二、新知探究

问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势．

答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变．

问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的．

答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小．

函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性．

追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢?

答案：对于任意的、∈[-6，-5]．当<时，f()< f()．

设计意图：在观察分析的过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究．

问题３：通过上面的学习，我们如何用数学的符号语言表达函数的单调性呢？

一般地，设函数f(x)的定义域D：如果对于任意的、∈D，当<都有f()< f()，那么就称函数是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递增．

如果对于任意的、∈D，当<都有f()>f()，那么就称函数是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递减．

如果函数在区间上单调递增或递减，那么就称函数在区间I上具有单调性．此时I为函数的单调区间．

追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？

答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有、只要满足<都有f()< f()或者f()> f()成立，才能确定函数的单调性．

追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？

答案：在函数定义域内的一个区间I上，对于任意的、∈I且

若或则称函数在区间I上是增函数或函数在区间I上单调递增．

若或则称函数在区间I上是减函数或函数在区间I上单调递减．

问题４：观察问题２中函数的图象，函数值在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？

答案：根据函数图象，函数值在和这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值．

函数的最值：

若存在实数M，对所有的x∈D，都有且存在使得=M，则称M为函数的最大值．

同样的，可以定义函数的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．

总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；

（2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立，也就是说，函数

的图象不能位于直线y=M的上（下）方．

三、应用举例

     例1．设是定义在R上的函数，判断下列命题是否成立，并说明理由．

（1）若存在、∈R，且<使得f()< f()成立，则函数在R上单调递增；

（2）若存在、∈R，且<使得f() f()成立，则函数在R上不可能单调递减；

（3）若存在>0，对于任意的∈R，都有f()< f()成立，则函数在R上单调递增；

（4）对任意的、∈R，且<都有f() f()成立，则函数在R上单调递减．

解：（1）不成立，比如函数<0，f()< f(0)．函数在对称轴的左侧单调递增，右侧单调递减，并不是在R上单调递增．

（2）成立，由函数单调递减的定义可知，在给定区间上，当<都有f()> f()．所以存在、∈R，且<使得f() f()成立，则函数在R上不可能单调递减．

（3）成立，当>0时<恒成立，且满足f()< f()，根据函数单调递增的定义可知成立．

（4）不成立，由函数单调递减的定义可知当<都有f()> f()，不能带等号．

设计意图：（1）改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素是重要的，起关键作用的，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面理解和认识．（2）引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识．

例2．设f(x)=画出的图象，并通过图象直观判断它的单调性．

解：依题意知f(x)=其图象可由f(x)=的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间上单调递减．

探究：对于f(x)和都是它的单调区间，并且函数f(x)在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=在整个定义域上是减函数?

解：不能，因为函数f(x)的定义域不连续，当我们在区间上取一个数比如1，在区间上取一个数比如4，我们知道4<1，但f(4)<f(1)即不能说函数f(x)在整个定义域上是减函数．

例３．根据函数图像直观判断的单调性，并求出最小值．

解：函数可以表示为画出该函数的图象． 由图象可知该函数在区间（-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时取得最小值，最小值为0．

探究：函数在区间[1，+∞）上是否存在最大值？为什么？

　　答案：函数在区间[1，+∞）上不存在最大值，因为函数在区间上单调递增，因此不存在函数值M使得对于定义域内的每个值都满足不等式．

四、课堂练习

1．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：

（1）y    （2）f(x)=；

（3）．

2．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f（x）（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是f（x）．

（1）求f（50），并说明它的实际意义；

（2）当速度x为多少时，汽车最省油？

参考答案：

1．．解析：（1）y在区间单调递减．最小值是f(7)=35，最大值是f(2)=10．

（2）函数f(x)=的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值．

（3）由题意，函数在区间和上单调递减；在和单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f()=3．

2．解析：（1）f(50)=29.2，表示当行驶速度为50km/h时，行驶路程是29.2km．

(2)由题意，函数f（x）的对称轴为x=60，此时函数最大值为f(60)=30.2，即速度为60km/h时，汽车最省油．

五、课堂小结

1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于任意的、∈D，当<都有f()< f()，那么就称函数是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递增．

如果对于任意的、∈D，当<都有f()> f()，那么就称函数是减函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递减．

2．函数的单调区间：如果函数在区间上单调递增或递减，那么就称函数在区间I上具有单调性．此时I为函数的单调区间．

3．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有且存在使得=M，则称M为函数的最大值．

同样的，可以定义函数的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．

六、布置作业

教材第60页练习题第2~4题．