《函数的单调性和最值(2)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《函数的单调性和最值(2)》教学设计

1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．

2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值（或值域）．

3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．

重点：证明函数的单调性；能利用函数的单调性求函数的最值．

难点：求含参的一元二次函数的最值，利用函数最值解决实际问题．

一、新课导入

我们已经学习了函数单调性的定义，也感受到了函数的图像在判断函数单调性中的作用，但是，当函数的解析式很复杂，图象很难画出的时候，我们就需要利用函数的解析式和单调性的定义来判断函数的单调性了．

二、新知探究

探究：已知函数，

（1）利用定义，判断在区间上的单调性；

（2）根据的单调性求出在区间的最值．

答案：（1）任取、，且，

则．

因为，所以．当时，，，即，所以，即在区间上的单调递减．

（2）由于函数在区间单调递减，所以它的最大值是=5，最小值是=4．

问题１：利用函数的解析式和单调性的定义判断函数的单调性步骤是怎样的？

答案：一取，二作差，三定号，四判断．

追问：在利用函数的解析式和单调性的定义判断函数的单调性时，需要注意哪些问题？

答案：１.单调性定义中的、需要具有以下特征：①任意性：即“任意取、”中“任意”两个字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；②有大小，通常规定＜；③在整个区间内任取．

２.在作差定号的过程中要把差整理成能够直接判断正负的形式．

问题２：函数在区间或者是否存在最值？

答案：由最值的定义，当把区间改为时，此时无最大值，最小值是=．同样地，当把区间改为时，此时有最大值是=5，无最小值．

追问：若函数是定义在上的增（或减）函数，这个函数有最值吗？如果是区间呢？

答案：若函数是定义在上的增函数，则其最小值为，最大值为．若函数是定义在上的减函数，则其最大值为，最小值为．若定义域为区间，则没有最值，但可以说值域为（，）或者（，）．

探究：求函数在区间上的最值．

尝试判断函数在区间上的单调性并结合函数图象求函数在区间上的最值：

二次函数的图象为开口向上的抛物线且对称轴为，分析对称轴与定区间的相对位置关系，

当时，函数在上单调递增，如图1

故函数在处取的最小值，在2处取得最大值；

当时，函数在上单调递减，上单调递增，结合图2可知，

函数在处取得最小值，在处取得最大值；

当时，函数在上单调递减，上单调递增，结合图3可知，函数在处取得最小值，在取得最大值．

当2时，函数在区间上单调递减，结合图4可知，函数在取得最大值，在2处取得最小值；

综上，当时，函数在区间上的最小值，最大值为；

当时，函数在区间上的最小值，最大值为；

当时，函数在区间上的最小值，最大值为；

当2时，函数在区间上的最小值，最大值为．

总结：二次函数的开口方向确定，函数的定义域确定而对称轴不定，这种问题叫做“动轴定区间问题”，这种问题的核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

探究：函数其中的最小值为，求的表达式．

答：由函数知其图象开口向上，对称轴为，下面分三种情况讨论：

当，即时，即如图1所示，此时函数在上单调递减，所以．

当即时，如图2所示，此时函数在上单调递减，在上单调递增，所以．

当时，如图3所示，此时，函数在上单调递增，所以．

综上可知，

总结：二次函数的开口方向确定，函数的对称轴确定而定义域不定，这种问题叫做“定轴动区间问题”，这种问题的核心也是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．同样分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

三、应用举例

例1判断函数的单调性，并给出证明．

答案：画出函数的图像．由图像可以看出，函数在定义域R上为减函数．

下面利用函数单调性的定义证明这一结论．

证明：任取、∈R，且，则，所以3（）>，即．由函数单调性的定义可知，函数在定义域R上是减函数．

这个证明是在定义域内任取，通过计算与的差，得到，从而有函数单调性的定义判断函数在定义域R上是减函数．

例2 判断函数的单调性，并给出证明．

解：画出函数的图象．由图象可以看出，函数在定义域[，+∞）上是增函数．

证明：任取、[，+∞）且，则．

所以．

由，即．

由函数的单调性的定义可知，函数在定义域[，+∞）上是增函数．

这个证明是在定义域内任取，通过计算与的差，得到从而由函数单调性的定义判断函数在定义域[，+∞）上是增函数．

例3试用函数单调性的定义证明，函数在区间（1]上单调递减，在区间[1，+∞)上单调递增．

证明：任取、（1]且．

因为，所以，

即．这表明函数在区间（1]上单调递减，

同理可证，函数在区间[1，+∞)上单调递增．

在判断函数的单调性时，常常借助其图象，得到猜测，证明函数在一个区间上的单调性时，通常在这个区间上任取、，且，然后计算与的差，由其值大于或小于来判断在该区间上的增减性．

例4 已知函数f=-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求m的取值范围.

解：由于函数f=-2x+3开口向上，其对称轴为，可知其最小值为f=2，又因为当f=-2x+3=3时解得0或者2，如图，

故m的取值范围是[1，2].

四、课堂练习

1．下列说法能否判断函数在区间上单调递增？

（1）对于任意的、，，都有恒成立；

（2）存在、，使得成立；

（3）对任意的都有恒成立，并且对任意的都有也恒成立．

2.已知，．用定义判断证明函数在上的单调性．

3．已知函数在区间上单调，求实数的取值范围．

参考答案：

1.（1）能判断函数在区间上单调递增，由任意的、，，都有恒成立，可知对任意的、，，若<，都有f()<f()，符合单调递增函数的定义．

(2)  不能判断函数在区间上单调递增，不符合任意性．

(3)  能判断函数在区间上单调递增，理由同（1）．

2.函数在上的单调递增.证明：任取、，且，  因为，所以，，则，即f()<f()，所以函数在上单调递增.

3.已知函数，所以所以二次函数开口向上且对称轴为．

若其在区间上单调，则分两种情况讨论．

若函数在区间上单调递增，则对称轴必须，如图，

若函数在区间上单调递减，则对称轴必须．如图，

五、课堂小结

1．求函数最值要先判断函数的单调性，此外，要注意端点处的函数值．

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：

第一步 取值 设、是区间内的任意两个值，且<；

第二步 作差 作差，并通过因式分解、通分、配方等手段，转化为易判断正负的式子；

第三步 定号 确定的符号；

第四步 结论 根据的符号及单调性的定义判断函数单调性.

2．关于含参一元二次函数最值的求法，要对参数分类讨论．

六、布置作业

教材第6页练习题A组B组题．