数学必修 第一册3 函数的单调性和最值学案设计

函数的单调性和最值

【第一课时】

【学习目标】

（1）利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；

（2）掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；

（3）熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

【学习重难点】

（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；

（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；

（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

【学习过程】

一、知识引入

初中学习了一次函数的图象和性质.

当时，直线是向右上，即函数值随的增大而__________，

当时，直线向右下，即函数值随的增大而__________。

思考讨论：

（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？

（2）如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值随的值的变化情况.

二、新知识

一般地，在函数定义域内的一个区间上.

如果对于任意的，当时，都有___________，那么就称函数在区间上是增函数或递增的；

如果对于任意的，当时，都有____________，那么就称函数在区间上是减函数或递减的。

注意：

①函数在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数的单调区间。

如：一元二次函数在区间上是__________（单调递增），区间是函数的__________区间；

②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；

③“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义是不同的.

如：函数的单调递增区间为，则对称轴__________；

函数在区间上单调递增，则对称轴__________.

④函数的定义域为，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，而只能说“函数在区间和区间上都是递减的”.

例1.设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性.

例2.根据函数图象直观判断的单调性.

例3.判断函数的单调性，并给出证明.

思考讨论（综合练习）

（1）二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；

（2）设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；

（3）已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；

（4）设实数,函数在区间上的最小值是，求并画出的图象.

【第二课时】

【学习目标】

（1）利用函数的单调性定义证明函数的单调性；

（2）复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；

（3）熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。

【学习重难点】

（1）利用定义证明函数的单调性；

（2）复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；

（3）利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。

【学习过程】

思考讨论：

（1）增函数和减函数的定义是什么？

（2）如果有两个函数和，在同一个区间上都是单增（单减）函数，那么函数的具有怎样的单调性？能不能判断函数的单调性呢？

例4.判断函数的单调性，并给出证明.

例5.试用定义证明：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.

注意：

①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.

时，由函数的单调性或由均值不等式，可得当时，函数取得最小值，同理也可以得到时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数.

形如的函数，在区间上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当__________时，函数取得最小值__________，函数在区间上是__________，在区间上是__________；

②设是的函数，是的函数，其中函数的值域是函数的定义域或子集，则函数称为函数与函数的复合函数。

复合函数单调性常采用分层分析的方法：

如：函数，令，则

当时，，所以函数在时单减，

当时，，所以函数在时单增，

其中“”代表增大，“”代表减小.

③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性.

如：求函数在区间上的最值.

____________________________________，

当时，随着，，所以函数，即函数单增.

所以____________________，____________________。

思考讨论（综合练习）

（1）如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；

（2）函数在上单调递增，求实数的取值范围

（3）求函数的单调区间；

（4）已知定义在区间上的函数，满足：i）对任意，都有；ii）当时，.

①判断并证明单调性；

②解关于的不等式.