数学北师大版 (2019)4.1 函数的奇偶性学案
展开函数的奇偶性
【学习目标】
(1)理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质;
(2)能够根据定义和图像判断简单函数的奇偶性;
(3)能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
【学习重难点】
(1)函数奇偶性的概念、图象特征和性质;
(2)根据定义和图像判断简单函数的奇偶性;
(3)用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
【学习过程】
一、知识引入
在日常生活中,我们经常会看到一些具有对称性的图片,如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。
思考讨论:
(1)上列各图,分别是怎样的对称图形?
(2)在我们学习的函数中,有些函数的图象也具有对称性,请举出几个这样的函数;
例1.画出函数的图象,并观察它的对称性.
(3)上例函数的图象是关于原点中心对称的,你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗?
二、新知识
一般地,设函数定义域为.
如果当时,有,且,那么就称函数为奇函数;
如果当时,有,且,那么就称函数为偶函数。
如:函数、等等
注意:
①当函数是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性。
奇函数图象关于原点中心对称,反之亦然;
偶函数图象关于轴对称,反之亦然。
②函数具有奇偶性的前提是:定义域关于原点对称;
③若奇函数是在处有定义,则有;
④如果已知了一个函数的奇偶性,那么在研究它的性质时,可以先研究其在非负区间上的性质,然后利用对称性可得在轴另一侧函数的性质.
例2.根据定义,判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2);
(3);
(4).
思考讨论(综合练习)
(1)根据定义,判断下列函数的奇偶性:
①
②
③
④
(2)已知函数是定义在上的奇函数,且当时,.
①求函数的解析式;
②若函数在上单调递增,求实数的取值范围.
注意:
①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法,某些函数,如果不易直接看出的关系,可以通过验证或来判断函数的奇偶性;
②奇函数如果在处有定义,必有;
③函数在定义域内,如果满足,则函数图象关于直线对称;如果满足,则函数图象关于直线对称.
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