高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行导学案，共11页。学案主要包含了基本事实4的应用，等角定理的应用等内容，欢迎下载使用。

8.5.1 直线与直线平行


学习目标 1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.





知识点一 基本事实4





知识点二 空间等角定理


1.定理





2.推广


如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.


思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？


答案 不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.





1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.( √ )


2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.( × )


3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.( √ )


4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.


( √ )





一、基本事实4的应用


例1 (1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.





证明 ∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，


∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.


∴四边形EBB′E′是平行四边形，


∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.


∴EE′∥FF′.


(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.





证明 如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.


因为F为CC1的中点，


所以BG∥FC1，





且BG＝FC1.


所以四边形BFC1G是平行四边形.


所以BF∥GC1，BF＝GC1，


又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，


A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，


所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.


所以四边形EGC1D1是平行四边形.


所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，


所以BF∥ED1，BF＝ED1，


所以四边形BFD1E是平行四边形.


反思感悟 基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.


跟踪训练1 如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN.





证明 如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上.


∵M，N分别为△PAB，△PAC的重心，





∴eq \f(QM,MB)＝eq \f(QN,CN)＝eq \f(1,2)，则MN∥BC.


又G，H分别为PB，PC的中点，


∴GH∥BC，∴GH∥MN.


二、等角定理的应用


例2 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.





求证：∠BGC＝∠FD1E.





证明 因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，


所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，


所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.


所以GC∥D1E，GB∥D1F.


因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，


所以∠BGC＝∠FD1E.


反思感悟 等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.


跟踪训练2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：





(1)四边形MNA1C1是梯形；


(2)∠DNM＝∠D1A1C1.


证明 (1)如图 ，连结AC，在△ACD中，





∵M，N分别是CD，AD的中点，


∴MN是△ACD的中位线，


∴MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC.


由正方体的性质，得


AC∥A1C1，且AC＝A1C1.


∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，


即MN≠A1C1，


∴四边形MNA1C1是梯形.


(2)由(1)可知，MN∥A1C1.


又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.





1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )


A.一定平行 B.一定相交


C.一定异面 D.相交或异面


答案 D


解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).


2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有( )


A.∠BAC＝∠B′A′C′


B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°


C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°


D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°


答案 C


解析 由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行，所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.


3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是( )





A.矩形 B.正方形


C.菱形 D.空间四边形


答案 C


解析 利用E，F，G，H分别为各边中点，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.


4.两等角的一组对应边平行，则( )


A.另一组对应边平行


B.另一组对应边不平行


C.另一组对应边不可能垂直


D.以上都不对


答案 D


解析 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.


5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )


A.全等 B.不相似


C.仅有一个角相等 D.相似


答案 D


解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.





1.知识清单：


(1)基本事实4的应用.


(2)等角定理的应用.


2.方法归纳：转化思想.


3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补.








1.空间两条互相平行的直线指的是( )


A.在空间没有公共点的两条直线


B.分别在两个平面内的两条直线


C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线


D.在同一平面内且没有公共点的两条直线


答案 D


2.不平行的两条直线的位置关系是( )


A.相交 B.异面


C.平行 D.相交或异面


答案 D


3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )





A.3条 B.4条 C.5条 D.6条


答案 B


解析 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.





4.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )


A.一定平行 B.一定垂直


C.一定是异面直线 D.一定相交


答案 B


解析 ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.


5.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )


A.平行或异面 B.相交或异面


C.异面 D.相交


答案 B


解析 假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)，c与b可能相交或异面.


6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________.


答案 0条或1条


解析 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例.令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行.





7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.


答案 矩形


解析 如图所示.





∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，


∴MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC，


PQ∥AC，且PQ＝eq \f(1,2)AC，


∴MN∥PQ，且MN＝PQ，


∴四边形MNPQ是平行四边形，


又∵AC⊥BD，NP∥BD，


∴PQ⊥NP，


∴四边形MNPQ是矩形.


8.如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq \f(AO,A′O)＝eq \f(BO,B′O)＝eq \f(CO,C′O)＝eq \f(2,3)，则eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.





答案 eq \f(4,9)


解析 如图，eq \f(AO,A′O)＝eq \f(BO,B′O)＝eq \f(CO,C′O)＝eq \f(2,3)，


可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.


由等角定理∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，


∴△ABC∽△A′B′C′，


∴eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq \f(4,9).


9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.





解 如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.





理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.


10.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.


证明 ∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，


∴EF∥AB且EF＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，


又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.


∵G，H分别为AD′，BC′的中点，





∴GH∥AB且GH＝eq \f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，


∴GH∥EF且GH＝EF，


∴四边形EFGH为平行四边形.





11.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( )


A.异面 B.平行


C.相交 D.相交、平行、异面均可能


答案 D


12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )


A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直


答案 C


解析 如图，连接AD1，CD1，AC，





则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.


13.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下结论正确的是( )





A.直线AM与CC1是相交直线


B.直线AM与BN是平行直线


C.直线BN与MB1是异面直线


D.直线AM与DD1是异面直线


答案 CD


解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故AB错误；CD正确.


14.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，则四边形EFGH的形状为________.


答案 梯形


解析 如图，





在△ABD中，∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，


∴EH∥BD且EH＝eq \f(1,2)BD.


在△BCD中，∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，


∴FG∥BD且FG＝eq \f(1,3)BD，∴EH∥FG且EH>FG，


∴四边形EFGH为梯形.





15.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )





A.MN≥eq \f(1,2)(AC＋BD)B.MN≤eq \f(1,2)(AC＋BD)


C.MN＝eq \f(1,2)(AC＋BD)D.MN

答案 D


解析 如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝eq \f(1,2)AC，NE＝eq \f(1,2)BD，





所以ME＋NE＝eq \f(1,2)(AC＋BD).


在△MNE中，有ME＋NE>MN，


所以MN

16.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.


(1)证明：E，F，G，H四点共面；


(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？


(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.





(1)证明 ∵AE∶EB＝AH∶HD，∴EH∥BD.


又∵CF∶FB＝CG∶GD，∴FG∥DB.


∴EH∥FG.∴E，F，G，H四点共面.


(2)解 当且仅当EH∥FG且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形.


∵eq \f(EH,BD)＝eq \f(AE,AE＋EB)＝eq \f(m,m＋1)，∴EH＝eq \f(m,m＋1)BD.


同理FG＝eq \f(n,n＋1)BD，由EH＝FG，得m＝n.


故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形.


(3)证明 当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，∴EF∥AC.


又∵AC⊥BD，EH∥BD，


∴∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，


∴EG＝FH.文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补