数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.7 三角函数的应用优质导学案

第五章 三角函数

5.7三角函数

【课程标准】

1. 了解的图像的物理意义，能指出简谐运动的振幅、周期、相位、初相
2. 会用三角函数构建物理中周期变化的数学模型
3. 能用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题

【知识要点归纳】

1. 描述简谐运动的物理量

简谐运动可以用函数表示，其中A>0,W>0.

(1)A是简谐运动的振幅，他是做简谐运动的物体离开平衡位置的_________.

(2)周期，它是做简谐运动的物体__________

(3)频率由公式给出，它是做简谐运动物体在单位时间内往返运动的________.

(4)称为__________.

(5)X=0时的相位称为________.

2. 散点图

  利用搜集到的数据，先画出相应的______,观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题

3.三角函数模型建立步骤

收集数据         画散点图           选择三角函数模求              三角函数模型的解          检验          用三角函数模型解决实际问题

【经典例题】

例1．如图，表示电流强度与时间的关系式，，在一个周期内的图象

（1）试根据图象写出的解析式；

（2）为了使中在任意一段秒的时内能同时取最大值和最小值，那么正整数的最小值为多少？

例2．如表是某地1988年年的月平均气温（华氏度）．

以月份为轴，令月份，以平均气温为轴．

（1）描出散点图；

（2）用正弦型曲线去拟合这些数据；

（3）第（2）问中所求得正弦型曲线对应的函数的周期是多少？

（4）估计这个正弦型曲线的振幅；

（5）下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？

①；②；③；④．

例3．如图，是一块边长为的正方形地皮，其中是半径为的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形的停车场，使矩形的一个顶点在圆弧上，相邻两边，落在正方形的，边上，求矩形停车场面积的最大值与最小值．

4．某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间，单位：小时）的函数近似地满足，，，如图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象．

（Ⅰ）根据图象，求，，，的值；

（Ⅱ）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度．

参考数据：

【课堂检测】

一．解答题（共4小题）

1．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，、两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由，，和组成．

（1）若，求观光通道的长度；

（2）用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；

2．已知函数，若____，写出的最小正周期，并求函数在区间内的最小值．

请从①，②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．

3．如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处，以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过、、三点．

（1）求的方程；

（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

4．某实验室一天的温度（单位随时间（单位．的变化近似满足函数关系式：，，．

（1）求该实验室一天当中上午10时的温度

（2）若某实验需要在不低于的条件下才可以做，那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行？

当堂检测答案

一．解答题（共4小题）

1．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，、两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由，，和组成．

（1）若，求观光通道的长度；

（2）用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；

【分析】（1）根据，利用余弦定理求出，和，从而得到观光通道的长度；

（2）根据条件将，，和用表示，得到，再求出其最大值即可．

【解答】解：（1），，

在中，利用余弦定理，得，

，同理，

观光通道长．

（2）作，垂足为，在中，，

则，

同理，作，垂足为，，即，

，

，当时，取最大值5，

即观光通道长的最大值为．

【点评】本题考查了三角函数的图形与性质和余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属中档题．

2．已知函数，若____，写出的最小正周期，并求函数在区间内的最小值．

请从①，②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．

【分析】选择①，化简解析式，利用周期定义求出周期，再根据的范围求出的范围，进而求出函数的最小值．

选择②，然后化简函数解析式，利用周期定义求出周期，再根据的范围求出的范围，然后利用正弦函数求最小值的方法求出最小值．

【解答】解：选择①：，

则，

，

所以函数的最小正周期为；

又因为，则，，

所以当时，，

故函数的最小值为：1．

选择②：，

则，

所以函数的最小正周期为；

又因为，则，

所以当即时，，

故函数的最小值为：．

【点评】本题考查了三角函数的周期以及定区间上求最小值的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．

3．如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处，以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过、、三点．

（1）求的方程；

（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

【分析】（1）由题意可求，，设过，，三点的圆的方程为，可得，解得，，的值，即可得解．

（2）设船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为1，该船航行方向为直线，利用点到直线的距离公式即可求解．

【解答】解：（1）由题意可求，，

设过，，三点的圆的方程为，

可得，解得，，，

故圆的方程为，圆心为，半径．

（2）设船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为1，

故该船航行方向为直线，

由于圆心到直线的距离，

故该船有触礁的危险．

【点评】本题主要考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属于中档题．

4．某实验室一天的温度（单位随时间（单位．的变化近似满足函数关系式：，，．

（1）求该实验室一天当中上午10时的温度

（2）若某实验需要在不低于的条件下才可以做，那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行？

【分析】（1）依题意 时，，从而解得；

（2）因为，，所以令，可得，从而解出的范围即可．

【解答】解：（1），

，

亥实验室一天当中上午10时的温度为．

（2）令，

即，

，

，，

，

故该实验室应该在一天中，这个时间段进行．即10时至18时进行．

【点评】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及余弦不等式的求解，考查计算能力，属于中等题．

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日期：2020/12/3 11:03:52；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.com；学号：26222372

例题答案

1．如图，表示电流强度与时间的关系式，，在一个周期内的图象

（1）试根据图象写出的解析式；

（2）为了使中在任意一段秒的时内能同时取最大值和最小值，那么正整数的最小值为多少？

【分析】（1）试根据图象，直接得出，，然后利用周期公式求出，满足，代入，，即可求出，写出的解析式；

（2）使中在任意一段秒的时内能同时取最大值和最小值，必须有周期，得到关于的不等式

即可求出正整数的最小值．

【解答】解：（1）由图可知：，周期

当时，即

故图象的解析式为：

（2）要使在任意一段秒能取得最大值和最小值，必须使得周期

即

由于为正整数，故的最小值为：629

【点评】本题是中档题，考查由的部分图象确定其解析式，考查学生视图能力，分析问题解决问题的能力，明确要使在任意一段秒能取得最大值和最小值，必须使得周期，是解好本题的关键．

2．如表是某地1988年年的月平均气温（华氏度）．

以月份为轴，令月份，以平均气温为轴．

（1）描出散点图；

（2）用正弦型曲线去拟合这些数据；

（3）第（2）问中所求得正弦型曲线对应的函数的周期是多少？

（4）估计这个正弦型曲线的振幅；

（5）下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？

①；②；③；④．

【分析】（1）描点作图；（2）将离散的点用曲线串起来；（3）根据最小值到最大值的时间得出周期；（4）根据最小值和最大值计算；（5）

【解答】解：（1）作出散点图如图所示：

（2）如图所示：

（3）1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，

据图知，，．

（4），

．

（5）月份，不妨取，，代入①，得，①错误；

代入②，得，②错误；同理④错误，③正确．

故函数模型③最适合．

【点评】本题考查了三角函数模型的应用，属于基础题．

3．如图，是一块边长为的正方形地皮，其中是半径为的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形的停车场，使矩形的一个顶点在圆弧上，相邻两边，落在正方形的，边上，求矩形停车场面积的最大值与最小值．

【分析】先建立直角坐标系，再设，然后过分别与的垂线，再求出，的长度，然后建立面积模型，再按照函数模型求解最值．

【解答】解：建立如图所示直角坐标系

设

，

令，

，

当时，取得最小值950

当时，取得最大值为：

【点评】本题主要考查函数模型的建立与应用，要注意先建系，再设点，表示相关的量，建立模型，最后解模型．

4．某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间，单位：小时）的函数近似地满足，，，如图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象．

（Ⅰ）根据图象，求，，，的值；

（Ⅱ）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度．

参考数据：

【分析】（Ⅰ）根据图象可分别求得函数的周期，，，求得，把已知点代入求得，则函数的解析式可得．

（Ⅱ）令，根据图表，确定接近于0时的值．

【解答】解：（Ⅰ）由图知，，

，．

．

又函数过点．

代入，得，又，

．

综上，，，，．

即．

（Ⅱ）令，设，则为该企业的停产时间．

由，，则．

又，则．

又，则．

又，则．

又，则．

．

应该在11.625时停产．

【点评】本题主要考查了三角函数图象 与性质解决实际问题．解题过程中确定函数的解析式是解决问题的前提．