高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用优秀课时作业

突破5.7 三角函数的应用

A组 基础巩固

1．（2021·北京·北大附中高三月考）如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在t=0时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是（结果精确到0.1米）（    ）

A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米

2．（2021·山西·怀仁市第一中学校高三月考（文））已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为，其中心（即圆心）距水面．如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始记时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映随变化的周期规律．下面关于函数的描述，正确的是（    ）

A．最小正周期为

B．一个单调递减区间为

C．的最小正周期为

D．图像的一条对称轴方程为

4．（2021·江西省莲花中学高一月考）某城市中一年12个月的平均气温与月份的关系近似地用三角函数来表示，已知6月份的平均气温最高，为28度.12月份的平均气温最低，为18度．则10月份的平均气温为（    ）度

A．20.5 B．21.5 C．22.5 D．23.5

5．（2021·全国·高一单元测试）某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（    ）

（参考数据：）

A．50 B．38 C．27 D．15

6．（2021·北京·高二期末）一个半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水轮上的点P从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间．当时间秒时，点P离水面的高度为（    ）

A．3m B．2m C．1m D．0m

7．（2021·全国·模拟预测（理））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（    ）

A．6 B． C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．收缩压为 B． C．舒张压为 D．

10．（2021·全国·高一专题练习）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ）

A． B． C． D．

11．（2021·全国·高一课前预习）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动______次.

12．（2021·山西·运城市新康国际实验学校高一开学考试）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________．

13．（2021·全国·高一课前预习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为，那么单摆来回摆一次所需的时间为_______．

14．（2021·全国·高一专题练习）如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；

（2）这段曲线的函数解析式为______________.

15．（2021·山西运城·高三期末（理））在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，___________.

16．（2021·北京市八一中学高三开学考试）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和是正整数，，.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：

①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度；

②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高；

③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同.

根据已知信息，得到的表达式是______.

17．（2021·江苏南通·高一开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为_______米.

18．（2021·新疆·哈密市第十五中学高三月考）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________.

B组 能力提升

19．（2021·全国·模拟预测）（多选题）某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一：，在线段上且，方案二：在圆弧上且．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（ ）

A．两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米

B．两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米

C．方案二中整个工程造价最低为万元

D．两个方案中整个工程造价最高为万元

20．（2021·重庆·模拟预测）（多选题）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).

现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴心距离水面的高度为2米，设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（    ）(参考数据：)

A．，其中，且

B．，其中，且

C．当时，盛水筒再次进入水中

D．当时，盛水筒到达最高点

21．（2021·全国·高三专题练习）（多选题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（    ）

A． B．

C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港

22．（2021·江苏·高一课时练习）一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：）和时间t（单位：s）的函数关系式是，.

（1）求小球摆动的周期；

（2）已知，要使小球摆动的周期是1s，线的长度应当是多少？（精确到0.1，取3.14）

23．（2021·江苏·高一课时练习）一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角（）与时间t（单位：s）的函数满足.

（1）时，角是多少？

（2）单摆频率是多少？

（3）单摆完成5次完整摆动共需多长时间？

24．（2021·江苏·高一课时练习）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：）由下列关系式决定：，.以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并且回答下列问题：

（1）小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？

（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？

（3）经过多少时间小球往复振动一次（周期）？

（4）每秒钟小球能够振动多少次（频率）？

25．（2021·全国·高一课时练习）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示：

（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式.

（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于小时.

26．（2021·全国·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

27．（2021·江苏·高一专题练习）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深(米）是随着一天的时间（，单位小时)呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表:

（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中），观察散点图，选择一个合适的函数模型，并求 出该拟合模型的函数解析式；

（2）为保证队员安全，规定在一天中的时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.