高中人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念导学案及答案

第五章 三角函数

5.2三角函数的概念

第2课时同角三角函数的基本关系

【课程标准】

1. 通过三角函数的定义推导出同角三角函数的的基本关系
2. 理解同角三角函数的基本关系式
3. 能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的化简、求值和证明

【知识要点归纳】

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：

(2)商数关系：

(3)倒数关系：，，

2.同角三角函数基本关系式的变形

1．平方关系式的变形：

，

2．商数关系式的变形

。

【经典例题】

例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。

【解析】 ∵tan=－2，∴sin=－2cos   ①  ，    又sin2+cos2=1    ②

由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。

当为第二象限角时，，代入①得。

当为第四象限角时，，代入①得。

【变式1】已知是的一个内角，且，求

【解析】为钝角，

由平方整理得：

例2．已知：（备注：）求：

（1）的值；（2）的值；

（3）的值；（4）及的值

【解析】（1）由已知，，

（2），

（3），

（4）由，解得或

【变式1】已知0＜x＜π，sin、cos是方程的两实根，求：

（1）m的值；

（2）求sin、cos、tan的值；

（3）的值．

【解析】（1）∵0＜＜π，sin、cos是方程的两实根，∴，，∵，解得：；

（2）∵  ①，，

∴，

∴  ②，  联立①②解得：，，；

（3）∵，，

∴原式

      ．

例3．已知tan=3，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【解析】（1）∵原式

∴分子分母都除以cos，得原式

（2）∵原式

∴将分子化成1=sin2+cos2，可得原式

再将分子分母都除以cos2，得

原式

【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；

（2）已知，求的值。

【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，

∴原式

      。

（2）由，得，解得：

∴

。

例4．化简：（1）；

（2）；

（3）；

（4）

【解析】（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式= =

=，

【当堂检测】

一．选择题（共5小题）

1．已知，则的值为　　

A． B． C． D．2

2．已知，则　　

A． B． C．4 D．5

3．若，且，则　　

A． B． C． D．

4．已知，则　　

A． B． C． D．

5．方程的解集是　　

A．， B．， 

C．， D．，

二．解答题（共3小题）

6．已知，是关于的方程的两个根．求的值；

7．已知，且为第二象限角．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

8．已知，计算：

（1）；

（2）；

（3）若是第三象限角，求、．

当堂检测答案

一．选择题（共5小题）

1．已知，则的值为　　

A． B． C． D．2

【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简所求式子，即可求出结果．

【解答】解：，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．

2．已知，则　　

A． B． C．4 D．5

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可求解．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

3．若，且，则　　

A． B． C． D．

【分析】由已知可求范围，进而根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．

【解答】解：，且，

，

则．

故选：．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

4．已知，则　　

A． B． C． D．

【分析】由已知利用平方差公式，二倍角公式化简，再计算的值．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题主要考查了平方差公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

5．方程的解集是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】由两角和的正弦函数公式可得，利用正弦函数的性质即可求解．

【解答】解：由题意可得：，

，，解得，，可得方程的解集是，．

故选：．

【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．

二．解答题（共3小题）

6．已知，是关于的方程的两个根．求的值；

【分析】由△可得的范围，由韦达定理和同角三角函数的基本关系可得的方程，解方程可得所求值．

【解答】解：由已知原方程判别式△，

解得或．

又，

，即．

，或，（舍去）．

．

【点评】本题考查三角函数求值，涉及韦达定理的应用，属中档题．

7．已知，且为第二象限角．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【分析】（Ⅰ）由已知直接利用平方关系求得，再由商的关系求得；

（Ⅱ）分子分母同时除以，化弦为切求解．

【解答】解：（Ⅰ），且为第二象限角，

，则；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

8．已知，计算：

（1）；

（2）；

（3）若是第三象限角，求、．

【分析】（1）由已知化弦为切求解；

（2）分母看作1，用平方关系替换，在化弦为切求解；

（3）联立商的关系与平方关系求解．

【解答】解：（1）；

（2）；

（3），，①

代入中，可得．

，得，

又是第三象限角，．

代入①式得．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

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日期：2020/12/2 15:21:30；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.com；学号：26222372