高中5.7 三角函数的应用教案及反思

三角函数的应用

【教学过程】

一、新知初探

1．函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0中参数的物理意义

2．解三角函数应用题的基本步骤：

（1）审清题意；

（2）搜集整理数据，建立数学模型；

（3）讨论变量关系，求解数学模型；

（4）检验，作出结论．

二、初试身手

1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是（    ）

A．3π，，

B．6π，，

C．3π，3，－

D．6π，3，

答案：B

解析：y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为．

2．函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．

答案：；x－；－

解析：频率为＝＝，

相位为x－，初相为－．

3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．

答案：0.8

解析：观察图象可知此简谐运动的周期T＝0．8，所以这个简谐运动需要0．8 s往返一次．

4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y（m）在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．

答案：y＝－6sinx

解析：设y与x的函数关系式为y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0），则A＝6，T＝＝12，ω＝．

当x＝9时，ymax＝6．

故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z．

取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx．

三、合作探究

类型1

三角函数模型在物理学中的应用

例1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s（cm）随时间t（s）的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞）．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．

（1）小球在开始振动（t＝0）时的位移是多少？

（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

（3）经过多长时间小球往复振动一次？

思路点拨：确定函数y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．

解：列表如下：

描点、连线，图象如图所示．

（1）将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm．

（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm．

（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs．

规律方法

在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．

跟踪训练

交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用E＝220sin来表示，求：

（1）开始时电压；

（2）电压值重复出现一次的时间间隔；

（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

解：（1）当t＝0时，E＝110（V），即开始时的电压为110V．

（2）T＝＝（s），即时间间隔为0.02s．

（3）电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．

三角函数模型的实际应用

类型2

探究问题

在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？

提示：（1）根据原始数据给出散点图．

（2）通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．

（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．

（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．

例2：已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，记y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f（t）的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．

（1）根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；

（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？

思路点拨：（1）根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω．

（2）解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．

解：（1）由表中数据可知，T＝12，∴ω＝．又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1（0≤t≤24）．

（2）∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，（k∈Z）．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15．

母题探究

1．若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？

解：由y＝cost＋1＞1．25得cost＞，2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z．

又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，

所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t＜14．

2．若本例中海滨浴场某区域的水深y（米）与时间t（时）的数据如下表：

用y＝Asinωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．

解：函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6（h），此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此＝12，ω＝．

又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，

∴b＝10，A＝13－10＝3，

∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10（0≤t≤24）．

规律方法

解三角函数应用问题的基本步骤

提醒：关注实际意义求准定义域．

四、课堂小结

1．曲线y＝Asin（ωx＋φ）的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行．

2．解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．

（1）构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题．

（2）对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题．

五、当堂达标

1．思考辨析

（1）函数y＝|sinx＋|的周期为π．（    ）

（2）一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为50cm．（    ）

（3）电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为A．（    ）

提示：（1）错误．函数y＝|sinx＋|的周期为2π．

（2）错误．一个周期通过路程为20cm，所以2s内通过的路程为20×＝100（cm）．

（3）正确．

答案：（1）×（2）×（3）√

2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由s1＝5sin，s2＝10cos2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是（    ）

A．s1＞s2

B．s1＜s2

C．s1＝s2

D．不能确定

答案：C

解析：当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，

当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，

故s1＝s2．

3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm．

答案：

解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝．

4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t以年初以来的月为计量单位）

（2）估计当年3月1日动物种群数量．

解：（1）设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0），

则

解得A＝100，b＝800．

又周期T＝2×（6－0）＝12，

∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800．

又当t＝6时，y＝900，

∴900＝100sin＋800，

∴sin（π＋φ）＝1，∴sin φ＝－1，

∴取φ＝－，

∴y＝100sin＋800．

（2）当t＝2时，

y＝100sin＋800＝750，

即当年3月1日动物种群数量约是750．