人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用同步达标检测题

5.7 三角函数的应用

【题组一 模型y=Asin(wx+ψ)+B】

1．（2020·浙江高一课时练习）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．

【答案】13

【解析】由图像可得，，，

∴，．

∵最低点坐标为，∴，得，

于是，∴，取，

∴．

当时，．

故答案为：13

2．（2020·浙江高一课时练习）已知某海浴场的海浪高度是时间（其中，单位：时）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，曲线可近似地看成是函数的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．

【答案】

【解析】由题意得，，，

∴，．

又，∴．

从而．

故答案为：

3．（2020·全国高一课时练习）电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（    ）

A．5A B．2.5A C．2A D．－5A

【答案】B

【解析】当时，.

故选：.

4．（2020·全国高一课时练习）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

【答案】（1）最大温差为4℃；（2）在10时至18时实验室需要降温.

【解析】（1）因为

所以，

当时，；

当时，

于是在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当时实验室需要降温.

故有，

即 .

又，因此，

即.

故在10时至18时实验室需要降温.

5．（2020·陕西渭滨·高一期末）景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约600人；

③2月份入住客栈的游客约为200人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

（1）若入住客栈的游客人数y与月份之间的关系可用函数（，，）近似描述，求该函数解析式；

（2）请问哪几个月份要准备多于650人的用餐？

【答案】（1）；（2）7，8，9三个月.

【解析】（1）因为函数为，

由①，周期，所以；

由②，最小，最大，且，故；

由③，在上递增，且，所以，

所以，解得，

又最小，最大，所以，则，

解得，由于，所以，

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

.

（2）由条件可知，，化简得，

所以，

解得.因为，故.

即只有7，8，9三个月份要准备多于650人的用餐.

6．（2020·浙江高一单元测试）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如下表所示：

（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式．

（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．

【答案】（1）；（2）有121天（或122天）.

【解析】（1）细菌存活时间与日期位置序号之间的函数解析式满足，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，∴，故．

又，故．

又，∴．当时，，

∴，

∴．

（2）由得，

∴，可得．

∴这种细菌一年中大约有121天（或122天）的存活时间大于15.9小时．

7．（2020·辽宁辽阳·高一期中）为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；

②入住宾馆的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住宾馆的游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多．

（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为，且．试求出函数的解析式；

（2）请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？

【答案】（1），且；（2）在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物.

【解析】（1）因为，且

根据条件①，可知这个函数的周期是12；

由②可知，最小，最大，且；

由③可知，函数在上单调递增，

且，所以．

根据上述分析可得，，故，

且，解得   

根据分析可知，当时，取最小值，

当时，取最大值．

故，且，

，又因为，故，

所以入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为：

，且.

（2）令，

化简得，

即，

解得．

因为，且，所以，

即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物．

8．（2020·大连海湾高级中学高一月考）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．

若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．

【答案】4

【解析】由题意得函数（其中，，的周期为，

，解得，，

，

，

该港口在的水深为．

故答案为：4．

【题组二 圆周运动】

1．（2020·山东潍坊·高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．当时，函数单调递增

C．当时，点到轴的距离的最大值为

D．当时，

【答案】AD

【解析】由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，

代入可得＝6sin φ，∵，∴φ＝－.故A正确；

所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；

因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；

当时，，此时，点，，故D正确，

故选：AD．

2．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三其他（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意，设．则．，．

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．

3．（2020·全国高一课时练习）如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要分钟,其中心距离地面米,半径为米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:

(1)求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数解析式.

(2)当你第次距离地面米时,用了多长时间?

【答案】（1）（2）分钟.

【解析】(1)由已知可设,

由周期为分钟可知,当时,摩天轮第次到达最高点,

即此函数第次取得最大值,

,即.

所求的函数关系式为.

(2)设转第圈时,第分钟时距地面米,

由,

得,

或,

解得或,

时,第次距地面米,

故第次距离地面米时,用了(分钟).

4．（2020·开封市第二十五中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，）求摩天轮转动一周的解析式；

（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？

（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．

【答案】（1），；（2）；（3）h取最大值为62米.

【解析】（1）由题意，（其中，，）

摩天轮的最高点距离地面为145米，最低点距离地面为米，，得，，            

又函数周期为30分钟，所以，            

又，所以，． 所以，．           

（2），所以，，所以（分钟）．        

（3）经过t分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，，          

所以两人离地面的高度差

，

当或时，即或25分钟时，h取最大值为62米 .