人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计，共16页。学案主要包含了三角函数在物理中的应用，三角函数在生活中的应用，数据拟合模型的应用等内容，欢迎下载使用。

§5.7　三角函数的应用
学习目标　1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

知识点一　三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义


1．函数y＝3sin的初相为________．
答案　－
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________．
答案　80
解析　∵f(t)＝24sin 160πt＋110，
∴T＝＝＝，f＝＝80，
∴此人每分钟心跳的次数为80.
3．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为(　　)
A．y＝v0t B．y＝v0tsin θ
C．y＝v0tsin θ－gt2 D．y＝v0tcos θ
答案　C
解析　由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，故炮弹上升的高度y＝v0tsin θ－gt2，故选C.

一、三角函数在物理中的应用
例1　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
解　列表如下：
2t＋
0

π

2π
t
－




s
0
4
0
－4
0

描点、连线，图象如图所示．

(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
反思感悟　处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解　(1)由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
二、三角函数在生活中的应用
例2　通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解　(1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6
＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
(学生留)
反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤

跟踪训练2　健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解　(1)T＝＝＝(min)．
(2)f＝＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
三、数据拟合模型的应用
例3　下表所示的是某地2000～2019年的月平均气温(华氏度)．
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6

月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7

以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；
④＝sin .
解　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．

(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，∴T＝12.
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(4)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝>1≠cos ，∴①不适合．
代入②，得＝<0≠cos ，
∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合．
反思感悟　处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式．
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．


跟踪训练3　下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
时间(时)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
温度(℃)
36.8
36.7
36.6
36.7
36.8
37
37.2
37.3
37.4
37.3
37.2
37
36.8

(1)作出这些数据的散点图；
(2)选有用一个三角函数来近似描述这些数据．
解　(1)散点图如图所示，

(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，
由表知ymax＝37.4，ymin＝36.6，则c＝＝37，A＝＝0.4，ω＝＝＝.
由0.4sin＋37＝37.4，得sin＝1，
即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z，取φ＝－，
故可用函数y＝0.4sin＋37来近似描述这些数据．

1．简谐运动y＝4sin的相位与初相分别是(　　)
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
答案　C
解析　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(　　)
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
答案　B
解析　将t＝代入I＝5sin，得I＝2.5 A.
3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是(　　)

A.， B．2， C.，π D．2，π
答案　A
解析　当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.
4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5 B．6 C．8 D．10
答案　C
解析　根据图象得函数的最小值为2，
有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
5．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
答案　
解析　由已知得＝1，
所以＝2π，＝4π2，l＝.


1．知识清单：
(1)三角函数在物理中的应用．
(2)三角函数在生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模、数形结合．
3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际生话．


1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的(　　)

A．甲 B．戊 C．丙 D．丁
答案　D
解析　与乙点的位置相差周期的点为丁点．
2.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)

A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
答案　ABD
解析　由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在
0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
3.如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是(　　)

A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
答案　C
解析　A＝300，T＝2＝，ω＝＝100π，
I＝300sin(100πt＋φ)．
代入点，得100π×＋φ＝0，
取φ＝，∴I＝300sin.
4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(　　)
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
答案　C
解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
答案　C
解析　因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
所以ω可取，φ可取π，
即y＝500sin＋9 500.
当x＝3时，y＝9 000.
6．振动量函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的运动周期为________，相位是________．
答案　　3πx－π
解析　因为频率f＝，所以T＝＝，所以ω＝＝3π，所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
7．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃.
答案　20.5
解析　根据题意得
18＝a＋Acos＝a－A,28＝a＋A，
解得a＝23，A＝5，
所以y＝23＋5cos，
令x＝10，
得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
8．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为______________．

答案　h＝－6sint(0≤t≤24)
解析　设h＝Asin(ωt＋φ)，
由图象知A＝6，T＝12，
∴＝12，得ω＝＝.
点(6,0)为五点法作图中的第一点，
故×6＋φ＝0，得φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sin t(0≤t≤24)．
9．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解　(1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0




1
2πt＋


π

2π
2π＋
6sin
3
6
0
－6
0
3

描点画图．

(2)①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
10．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解　(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，
当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，
所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，
得sin＝－，
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
当x∈时，x－∈，
所以函数y在上单调递增．
故该细菌能存活的最长时间为－＝小时．

11.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　)

A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
答案　B
解析　由题意知A＝3，ω＝＝.
12．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1

经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
答案　A
解析　由图表可得函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的最大值为15，最小值为9，故k＝＝12，A＝15－12＝3，由于当函数取得最大值时，相邻的两个t值分别为t＝3和t＝15，
故函数的周期等于15－3＝12＝，解得ω＝，
故函数的解析式为y＝12＋3sin，
由当t＝0时，函数值等于12，
可得12＋3sin φ＝12，∴sin φ＝0，
∴φ＝kπ，k∈Z，故可取φ＝0，
故函数的解析式为y＝12＋3sint，t∈[0,24]．
13.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　)

A．y＝sin，t∈[0，＋∞)
B．y＝sin，t∈[0，＋∞)
C．y＝sin，t∈[0，＋∞)
D．y＝sin，t∈[0，＋∞)
答案　C
解析　由题意可得函数初相为，排除B，D.又T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故选C.
14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
答案　10sin 
解析　秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示，sin ＝，

所以d＝10sin .

15．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
答案　
解析　因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.
当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.
故ω的最小值为.
16．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销售完，你估计哪个月份盈利最大？
解　设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)，
易知A＝2，T1＝8，ω1＝，＋φ1＝⇒φ1＝－，
所以y1＝6＋2sin.
设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)，
易知B＝2，T2＝8，ω2＝，
＋φ2＝⇒φ2＝－，
所以y2＝8＋2sin.
每件盈利y＝y2－y1
＝－
＝2－2sin x，
当sin x＝－1，即x＝2kπ－(k∈Z)，
x＝8k－2(k∈Z)时，
y取最大值．
当k＝1，即x＝6时，y最大．
所以估计6月份盈利最大．