高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计

第五章  三角函数

5.7  三角函数的应用

1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问

   题．

2．实际问题抽象为三角函数模型．

重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模

     型解决一些具有周期变化规律的实际问题.

难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.

1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.

2、是以____________为周期的波浪型曲线.

提出问题

     现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．

典例解析

问题１　某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．

   请你查阅资料，了解振子的运动原理．

归纳总结

     现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞）

表示，其中A＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：

    A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ 称为初相．

问题２　如图5.7.2（1）所示的是某次实验测得的交变电流（单位：Ａ）随时间狋（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7.2（２）．

（１）求电流随时间变化的函数解析式；

（２）当, , , 时，求电流．

请你查阅资料，了解交变电流的产生原理．

1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)

A．该质点的运动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零

2．与图中曲线对应的函数解析式是(　　)

A．y＝|sin x|　　　　　　      B．y＝sin |x|

C．y＝－sin |x|                 D．y＝－|si n x|

3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)

A．[0,5]      B．[5,10]    C．[10,15]     D．[15,20]

4．在电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．

5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋b的图象．

(1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?

解三角函数应用题的基本步骤：

(1)审清题意；

(2)搜集整理数据，建立数学模型；

(3)讨论变量关系，求解数学模型；

(4)检验，作出结论．

参考答案：

学习过程

 问题1 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．根据已知数据作出散点图，如图5.7.1所示．

    由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即= 0.6 解得 ＝；再由初始状态（t＝０）振子的位移为-20，可得sinφ =－１，因此φ ＝- ．所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin（t - ） t∈[０，＋∞）．

问题2 由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A＝５；电流变化的周期为ｓ，

频率为５０Ｈｚ，即＝５０，解得ω＝100π；再由初始状态（t＝０）的电流约

为4.33Ａ，可得sinφ =0.866，因此 φ 约为．

所以电流i随时间t变化的函数解析式是: i=5sin（100t+）,t∈[100，＋∞）．

当t=时，   当t=时， 

当t=时，   当t=时，

达标检测

1． 【解析】　由题图可知，该质点的振幅为5 cm.

【答案】　B

2．【解析】　注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.

【答案】　C

3．【解析】　当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C.

【答案】　C

4． 【解】　由题意得：T≤，即≤，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.

5. 【解】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.

又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，

∴b＝10，A＝13－10＝3，

∴所求函数的表达式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．

(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sin t＋10≥11.5，

可得sin t≥，∴2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，

∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．

取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；

而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍)．

从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.