数学必修第一册2.2.1 不等式及其性质优秀学案

展开

这是一份数学必修第一册2.2.1 不等式及其性质优秀学案，共9页。

2.2.1 不等式及其性质

知识点1 比较实数大小

1.不等式：用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，称为不等式.

注意：a≥b⇔a>b或a＝b;a≤b⇔a

2.实数大小的依据

eq \a\vs4\al(a>b⇔a－b>0；,a＝b⇔a－b＝0；,a

[微体验]

1.在下列式子中，不是不等式的是( )

A.m≤0 B.－1>－eq \f(7,2)

C.x＝5 D.2x2＋x>1

答案 C

2.设M＝4＋x2，N＝4x，则M与N的大小关系为( )

A.M ≥N B.M＝N

C.M≤N D.与x有关

A [因为M－N＝4＋x2－4x＝(x－2)2≥0.所以M≥N.][来源:]

知识点2 不等式的性质[来源:学&科&网]

1.不等式的性质

性质1 如果a>b，那么a＋c>b＋c.

性质2 如果a>b，c>0，那么ac>bc.

性质3 如果a>b，c<0，那么ac

性质4 如果a>b，b>c，那么a>c.(传递性)

性质5 如果a>b⇔b

2.不等式性质的推论

推论1 如果a＋b>c，则a_>c－b.

推论2 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

推论3 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

推论4 如果a>b>0，那么an> bn(n∈N，n>1).

推论5 如果a>b>0，那么eq \r(a) >eq \r(b)，eq \r(n,a)>eq \r(n,b).

[微体验]

1.思考辨析

(1)若a>b，则ac>bc一定成立.( )

(2)a>b⇔a＋c>b＋c.( )

(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )

答案 (1)× (2)√ (3)×

2.用反证法证明命题“如果a>b，那么eq \r(3,a)>eq \r(3,b)”时，假设的内容是( )

A.eq \r(3,a)＝eq \r(3,b) B.eq \r(3,a)

C.eq \r(3,a)＝eq \r(3,b)，且eq \r(3,a)

答案 D

3.已知a>b，c>d，且cd≠0，则( )

A.ad>bc B.ac>bc

C.a－c>b－d D.a＋c>b＋d

D [a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项.]

4.若a>b>0，n>0，则eq \f(1,an)_________eq \f(1,bn).(填“>”“<”或“＝”)

< [因为a>b>0，n>0，所以an>bn>0. 因为eq \f(1,an·bn)>0，

所以an·eq \f(1,anbn)>bn·eq \f(1,anbn)，所以eq \f(1,bn)>eq \f(1,an).]

探究一比较大小问题

已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小.

解 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)

＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，

因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，

所以当x>1时，(x－1)(x2－x＋1)>0，

即x3－1>2x2－2x；

当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；

当x<1时，(x－1)(x2－x＋1)<0，即x3－1<2x2－2x.

[方法总结]

作差法比较两个代数式大小的步骤

(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；

(2)变形：对差进行变形；

(3)定号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；

(4)结论.

这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提.

[跟踪训练1] 已知a、b为正实数，试比较eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))与eq \r(a)＋eq \r(b)的大小.

解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq \r(a)＋eq \r(b))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,\r(a))－\r(a)))

＝eq \f(a－b,\r(b))＋eq \f(b－a,\r(a))＝eq \f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))

＝eq \f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab)).

因为a、b为正实数，

所以eq \r(a)＋eq \r(b)>0，eq \r(ab)>0，(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0.

于是有eq \f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0，

当且仅当a＝b时等号成立，

所以eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b)，当且仅当a＝b时取等号.

探究二用综合法证明不等式

已知c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).

证明因为c＞a＞b＞0所以c－a＞0，c－b＞0，

eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(由a＞b＞0⇒\f(1,a)＜\f(1,b), c＞0))⇒eq \f(c,a)＜eq \f(c,b)

⇒eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,a)＜\f(c－b,b), c－a＞0, c－b＞0))⇒eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b).

[变式探究1] 将本例中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”，证明：eq \f(c,a)>eq \f(c,b).

证明因为a>b>0，所以ab>0，eq \f(1,ab)>0.

于是a×eq \f(1,ab)>b×eq \f(1,ab)，即eq \f(1,b)>eq \f(1,a).由c<0，得eq \f(c,a)>eq \f(c,b).

[变式探究2] 将本例中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6

解因为－6

所以－10<2a＋b<19.

又因为－3<－b<－2，所以－9

又eq \f(1,3)

②当－6

由①②得－3

[方法总结]

综合法证明不等式的关键

(1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.

(2)综合法证明不等式主要是应用基本不等式(或重要不等式)来证明，要注意基本不等式(或重要不等式)的变形应用，一般式子中出现平方和与乘积形式时可以考虑用综合法来证明.

探究三分析法证明不等式

求证：eq \r(3)＋eq \r(7)<2eq \r(5).

证明 ∵eq \r(3)＋eq \r(7)>0,2eq \r(5)>0，∴要证 eq \r(3)＋eq \r(7)<2eq \r(5).

只需证(eq \r(3)＋eq \r(7))2<(2eq \r(5))2.

展开得10＋2eq \r(21)<20.

即证2eq \r(21)<10，

即证21<25(显然成立).

∴eq \r(3)＋eq \r(7)<2eq \r(5).

[方法总结]

用分析法证明不等式的思路[来源]

(1)分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止.

(2)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.

[跟踪训练2] 设a>0，b>0,2c>a＋b.

求证：c－ eq \r(c2－ab)

证明要证c－eq \r(c2－ab)

只要证：－eq \r(c2－ab)

即证：|a－c|< eq \r(c2－ab)，

也就是证(a－c)2

只要证：a2－2ac<－ab，即证：a2＋ab<2ac.

因为a>0，所以就是证：a＋b<2c，显然成立.

故不等式c－eq \r(c2－ab)

探究四用反证法证明不等式

若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.

证法一假设a＋b>2，则a>2－b，

∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，这是不可能的.

∴a＋b≤2.

证法二假设a＋b>2，而a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)b))2＋eq \f(3,4)b2≥0，但取等号的条件是a＝b＝0，显然不可能.

∴a2－ab＋b2>0.

则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2).

又∵a3＋b3＝2，

∴a2－ab＋b2<1.

∴1＋ab>a2＋b2≥2ab.

∴ab≤1.

∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝(a2－ab＋b2)＋3ab<4.

∴a＋b<2，这与假设相矛盾，故a＋b≤2.

[方法总结]

用反证法证明不等式的策略

(1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.

(2)用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.[来源:Z§xx§k.Cm]

[跟踪训练3] 已知x>0，y>0，且x＋y>2，求证eq \f(1＋x,y)与eq \f(1＋y,x)中至少有一个小于2.

证明假设eq \f(1＋x,y)与eq \f(1＋y,x)均不小于2，即eq \f(1＋x,y)≥2，eq \f(1＋y,x)≥2，

所以1＋x≥2y,1＋y≥2x.

将两式相加得x＋y≤2，

与已知的x＋y>2矛盾，故假设不成立，

即eq \f(1＋x,y)与eq \f(1＋y,x)中至少有一个小于2.

1.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论. 作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式乘积的形式.

2.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然.

3.用综合法证明不等式的逻辑关系

A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B

由已知逐步推演不等式成立的必要条件，从而得结论.

4.用分析法证明不等式的逻辑关系

A⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐B

由结论步步寻求不等式成立的充分条件，从而到已知.

5.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设

课时作业(十二) 不等式及其性质

1.若x>1>y，下列不等式不成立的是( )

A.x－1>1－y B.x－1>y－1

C.x－y>1－y D.1－x>y－x

A [特殊值法.令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故A不正确.]

2.若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )

A.M＞－5 B.M＜－5

C.M＝－5 D.不确定

A [因为m≠2，n≠－1，所以M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0，所以M＞－5.]

3.已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )

A.a＞eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2) B.eq \f(a,b2)＞eq \f(a,b)＞a

C.eq \f(a,b)＞a＞eq \f(a,b2) D.eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2)＞a

D [取a＝－2，b＝－2，则eq \f(a,b)＝1，eq \f(a,b2)＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a.]

4.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )

A.eq \f(1,a)b2

C.eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1) D.a|c|>b|c|

C [对A，若a>0>b，则eq \f(1,a)>0，eq \f(1,b)<0，此时eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，所以A不成立；对B，若a＝1，b＝－2，则a2b，所以eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1)恒成立，所以C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立.]

5.若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________.

eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2) [因为eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2) ＝eq \f(－x－12,21＋x2) ≤0.

所以eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).]

6.若1<α<3，－4<β<2，则eq \f(1,2)α－β的取值范围是________.

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)， \f(11,2))) [因为1<α<3，所以eq \f(1,2)

所以－eq \f(3,2)

7.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，

不妨设∠A＝∠B＝90°.

正确顺序的序号排列为________.

③①② [由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.]

8.已知c>0，用分析法证明eq \r(c－1)＋eq \r(c＋1)<2eq \r(c).

证明要证eq \r(c－1)＋eq \r(c＋1)<2eq \r(c)，

只需证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(c－1)＋\r(c＋1)))2<(2eq \r(c))2，

即证2c＋2eq \r(c2－1)<4c，

即证 eq \r(c2－1)

而c>0，即证c2－1

上式明显成立，不等式得证.

9.比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.

解 x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1

＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)

＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，

所以当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，

当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.

综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立.

10.(1)a

(2)已知a>b，eq \f(1,a)0.

证明 (1)由于eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)＝eq \f(b＋ab－a,ab)，

因为a0，ab>0.

所以eq \f(b＋ab－a,ab)<0.故eq \f(b,a)

(2)因为eq \f(1,a)b，

所以b－a<0，所以ab>0.

1.已知a＝2－eq \r(5)，b＝eq \r(5)－2，c＝5－2eq \r(5)，那么下列各式正确的是( )

A.a

C.b

A [因为a<0，b>0，所以a0，所以c>b，所以a

2.若a>b>0，c

A.eq \f(a,c)>eq \f(b,d) B.eq \f(a,c)

C.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) D.eq \f(a,d)

D [令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则eq \f(a,c)＝－1，eq \f(b,d)＝－1，所以A，B错误；eq \f(a,d)＝－eq \f(3,2)，eq \f(b,c)＝－eq \f(2,3)，所以eq \f(a,d)

3.要使eq \r(3,a)－eq \r(3,b)

A.ab<0且a>b

B.ab>0且a>b

C.ab<0且a

D.ab>0且a>b或ab<0且a

D [eq \r(3,a)－eq \r(3,b)0时，有eq \r(3,b)eq \r(3,a)，即b>a.]

4.设n>1，n∈N，A＝eq \r(n)－eq \r(n－1)，B＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，则A与B的大小关系为________.

A>B [A＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n－1))，B＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n)) .

因为eq \r(n)＋eq \r(n－1)B.]

5.已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则 eq \r(\f(a,d))与 eq \r(\f(b,c))的大小关系是____________.

eq \r(\f(a,d))＞ eq \r(\f(b,c)) [因为c＞d＞0，所以eq \f(1,d)＞eq \f(1,c)＞0，

因为a＞b＞0，所以eq \f(a,d)＞eq \f(b,c)＞0，所以 eq \r(\f(a,d))＞ eq \r(\f(b,c)).]

6.(拓广探索)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

解设该单位有职工n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，

则y1＝x＋eq \f(3,4)x(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)xn，

所以y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)xn＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)xn

＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5))).

当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.

因此，当单位人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.

课程标准
学科素养
1.通过对比，理解等式和不等式的共性与差异.

2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
通过对等式及其性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
常见

词语
至少有

一个
至多有一个
不是
不可能
全
都是否

定
假设
一个也

没有
有两个或两

个以上
是
有或

存在
不全
不都是