高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时导学案，共11页。学案主要包含了作差法比较大小，利用不等式的性质判断或证明等内容，欢迎下载使用。

第1课时 不等式及其性质
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识点一 不等关系
常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示：
其中a≥b⇔a＞b或a＝b，a≤b⇔a＜b或a＝b.
知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法的理论依据：
a>b⇔a－b>0；
a＝b⇔a－b＝0；
a知识点三 不等式的基本性质及推论
1．不等式的性质
2.不等式的推论
1．实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.( × )
2．不等式x≥2的含义是指x不小于2.( √ )
3．两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a4．a>b，c>d的充要条件是a＋c>b＋d.( × )
一、作差法比较大小
例1 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究
1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)
＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，
∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解 若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
反思感悟 作差法比较大小的四个步骤
跟踪训练1 若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________________．
答案 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2)
解析 ∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0.
∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).
二、利用不等式的性质判断或证明
例2 (1)已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
答案 C
解析 由于b<2a,3d则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故选C.
(2)若c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
证明 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a因为c>a，所以c－a>0，
所以0上式两边同乘eq \f(1,c－ac－b)，
得eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)>0.
又因为a>b>0，
所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
反思感悟 利用不等式的性质解决问题的注意点
(1)在解决选择题时，可利用特殊值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2 (多选)下列命题正确的是( )
A.eq \f(c,a)0⇒a>b
B．a>b且c>d⇒ac>bd
C．a>b>0且c>d>0⇒eq \r(\f(a,d)) >eq \r(\f(b,c))
D.eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)⇒a>b
答案 CD
解析 A中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)<\f(c,b)，,c>0))⇒eq \f(1,a)当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，错误；
B中，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，错误；
C中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>b>0，,c>d>0))⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c)>0⇒eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c))成立，正确；
D中，显然c2>0，
∴两边同乘以c2得a>b，正确．
利用不等式的性质求取值范围
典例 已知－1(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
解 (1)因为－1所以－3<－y<－2，所以－4(2)由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
延伸探究
1.若将本例条件改为－1解 因为－1所以－3＜－y<1，所以－4又因为x故x－y的取值范围为(－4,0)．
2.若将本例条件改为－1解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝2，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)))
即3x＋2y＝eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)，
又因为－1所以－eq \f(5,2)所以－eq \f(3,2)即－eq \f(3,2)<3x＋2y所以3x＋2y的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(23,2))).
[素养提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
注意 求解不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他式子的范围．
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案 C
解析 对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；
对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；
C正确；
对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
答案 C
解析 由a＋b>0，知a>－b，∴－a又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
3．(多选) 若eq \f(1,a)A．|a|>|b| B．aC．a＋bb3
答案 CD
解析 由eq \f(1,a)从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a＋b<0，ab>0，则a＋ba3>b3，D正确．故正确的不等式是C，D.
4．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
答案 C
解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，所以ab>ac.
5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
答案 m3>m2－m＋1
解析 ∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0.∴m3>m2－m＋1.
1．知识清单：
(1)用不等式表示不等关系．
(2)数或式大小比较．
(3)不等式的性质．
2．方法归纳：比较法．
3．常见误区：(1)不注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性．
(2)不注意讨论．
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒eq \f(1,2)厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )
A．4×2x≥100 B．4×2x≤100
C．4×2x>100 D．4×2x<100
答案 C
解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
2．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不能确定
答案 A
解析 M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.
3．若x>0，y>0，M＝eq \f(x＋y,1＋x＋y)，N＝eq \f(x,1＋x)＋eq \f(y,1＋y)，则M，N的大小关系是( )
A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N
答案 B
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，
∴eq \f(x,1＋x＋y)故M＝eq \f(x＋y,1＋x＋y)＝eq \f(x,1＋x＋y)＋eq \f(y,1＋x＋y)4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β＜0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
答案 A
解析 由－1<α<1，－1<β<1，
得－1<－β<1，
所以－2<α－β<2.
又因为α<β，
故－2<α－β<0.
5．(多选)已知a>b>1，下列不等式一定成立的有( )
A．a2>b2 B.eq \r(a－b)>eq \r(a)－eq \r(b)
C．a3＋b3>2a2b D．a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a)
答案 ABD
解析 a>b>1，则a2>b2，A正确；
∵a>b>1，∴eq \r(ab)>b，∴(eq \r(a－b))2－(eq \r(a)－eq \r(b))2
＝2(eq \r(ab)－b)>0，
又∵eq \r(a－b)>0，eq \r(a)－eq \r(b)>0，
∴eq \r(a－b)>eq \r(a)－eq \r(b)，B正确；
取a＝2，b＝eq \f(3,2)，计算得到a3＋b3＝8＋eq \f(27,8)<2a2b＝12，C错误；
∵a＋eq \f(1,b)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)))＝a－b＋eq \f(1,b)－eq \f(1,a)＝(a－b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,ab)))>0，
∴a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a)，D正确．
6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)
答案 <
解析 因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
7．不等式a>b是eq \f(1,a)>eq \f(1,b)成立的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)，那么a>b和eq \f(1,a)>eq \f(1,b)同时成立的条件是________．
答案 既不充分也不必要 a>0>b
解析 由a>b不能推出eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，由eq \f(1,a)>eq \f(1,b)也不能推出a>b，所以不等式a>b是eq \f(1,a)>eq \f(1,b)成立的既不充分也不必要条件．因为eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，所以eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)>0，又因为a>b，所以b－a<0，所以ab<0，所以a>0>b.
8．给出下列命题：
①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①当c2＝0时不成立；②一定成立；
③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(b,2)))2＋\f(3,4)b2))>0成立；
④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.
9．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)且z＝1时取等号．
10．已知m，n是正实数，证明：eq \f(m3,n)＋eq \f(n3,m)≥m2＋n2.
证明 因为eq \f(m3,n)＋eq \f(n3,m)－m2－n2＝eq \f(m3－n3,n)＋eq \f(n3－m3,m)
＝eq \f(m3－n3m－n,mn)
＝eq \f(m－n2m2＋mn＋n2,mn).
又m，n均为正实数，
所以eq \f(m－n2m2＋mn＋n2,mn)≥0，
所以eq \f(m3,n)＋eq \f(n3,m)≥m2＋n2.
11．若a，b为实数，则“0eq \f(1,a)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 对于00，则b>0，aeq \f(1,a)成立，因此“0eq \f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，aeq \f(1,a)成立，但0eq \f(1,a)”的必要条件，即“0eq \f(1,a)”的充分不必要条件．
12．已知c＞1，且x＝eq \r(c＋1)－eq \r(c)，y＝eq \r(c)－eq \r(c－1)，则x，y之间的大小关系是( )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
答案 C
解析 x＝eq \r(c＋1)－eq \r(c)＝eq \f(1,\r(c＋1)＋\r(c))，
y＝eq \r(c)－eq \r(c－1)＝eq \f(1,\r(c)＋\r(c－1))，
∵c>1，
∴eq \r(c＋1)＋eq \r(c)>eq \r(c)＋eq \r(c－1)>0，
∴x＜y.
13．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
答案 8(x＋19)>2 200
解析 因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．
14．已知三个不等式①ab>0；②eq \f(c,a)>eq \f(d,b)；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
答案 3
解析 ①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
由②得eq \f(bc－ad,ab)>0，
又由③得bc－ad>0.所以ab>0⇒①.
所以可以组成3个正确命题．
15．已知－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)，则eq \f(α－β,2)的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))
解析 ∵－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)－eq \f(π,4)∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)由①＋②得－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)又知α<β，∴α－β<0.
∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)<0.
16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
解 设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝eq \f(\f(1,2)s,v1)＋eq \f(\f(1,2)s,v2)，乙用时t2＝eq \f(2s,v1＋v2)，t1－t2＝eq \f(s,2v1)＋eq \f(s,2v2)－eq \f(2s,v1＋v2)＝seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v1＋v2,2v1v2)－\f(2,v1＋v2)))
＝eq \f(v1＋v22－4v1v2,2v1v2v1＋v2)·s＝eq \f(v1－v22·s,2v1v2v1＋v2)>0，
所以甲用时多．所以乙先到达教室．文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
性质
别名
内容
性质1
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
性质2
可乘性
a＞b，c＞0⇒ac＞bc
性质3
a＞b，c＜0⇒ac＜bc
性质4
传递性
a>b，b>c⇒a>c
性质5
对称性
a>b⇔b推论
别名
内容
推论1
移项法则
a＋b＞c⇔a＞c－b
推论2
同向不等式相加
a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d
推论3
同向不等式相乘
a＞b＞0, c＞d＞0⇒ac＞bd
推论4
可乘方性
a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1)
推论5
可开方性
a＞b＞0⇒eq \r(a)>eq \r(b)