高中人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质学案设计

这是一份高中人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质学案设计，共10页。

知识点一 实数大小比较
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0⇔a________b；
a－b＝0⇔a________b；
a－b＜0⇔a________b．
状元随笔 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
知识点二 不等式的性质
状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b＞c ⇒a＞c －b. 性质3是可逆性的，即a＞b ⇔a ＋c＞b ＋c.
(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
基础自测
1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( )
A．T＜40 B．T＞40
C．T≤40D．T≥40
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞NB．M＝N
C．M＜ND．与x有关
3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是( )
A．x2＜a2＜0B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0D．x2＞a2＞ax
4．不等式组2x+1＞012x-3≤0的解集为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 比较大小[教材P61例2]
例1 比较x2－x和x－2的大小．
【解析】 因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1＞0，从而(x2－x)－(x－2)＞0，
因此x2－x＞x－2.
状元随笔 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
教材反思
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A．f(x)＜g(x)
B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＞g(x)
D．随x值变化而变化
题型2 不等式的性质[经典例题]
例2 对于实数a、b、c，有下列说法：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则ac-a＞bc-b；
⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.
其中正确的个数是( )
A．2 B．3
C．4D．5
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练2 (1)已知a＜b，那么下列式子中，错误的是( )
利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．
A.4a＜4b
B．－4a＜－4b
C．a＋4＜b＋4
D．a－4＜b－4
(2)(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中不正确的是( )
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞b，则1a＜1b
题型3 利用不等式性质求范围[经典例题]
例3 已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3 已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；
(2)求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y的取值范围．
2．2 不等式
2．2.1 不等式及其性质
新知初探·自主学习
知识点一
1．正数 等于0 负数
2．> ＝ <
知识点二
bc a＋c>b＋c ac>bc acb＋d ac>bd an>bn na>nb
[基础自测]
1．解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．
答案：C
2．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝x+122＋34>0，所以M>N.
答案：A
3．解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
答案：B
4．解析：x>-12x≤6，∴－12答案：-12，6
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)
＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以f(x)>g(x)．故选C.
答案：C
例2 【解析】 对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．
对于②，由ac2>bc2，知c≠0，∴c2>0⇒a>b.②对．
对于③，由a两边同乘以a得a2>ab，两边同乘以b得ab>b2，
∴a2>ab>b2.③对．
对于④，c>a>b>0⇒c-a>0，c-b>0a>b⇒-a<-b⇒c-a⇒1c-a>1c-b>0a>b>0⇒ac-a>bc-b.④对．
对于⑤，a>b⇒a-b>01a>1b⇒b-aab>0⇒ab<0a>b⇒a>0，b<0.⑤对．
故选C.
【答案】 C
跟踪训练2 解析：(1)根据不等式的性质，a0⇒4a<4b，A项正确；a－4b，B项错误；a(2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．
答案：(1)B (2)ABD
例3 【解析】 (1)|a|∈[0，3]；(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟踪训练3 解析：(1)∵1(2)由(1)知1理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a＞b⇔________
可逆
2
传递性
a＞b，b＞c⇒________
3
可加性
a＞b⇔________
可逆
4
可乘性
a>bc>0⇒________
c的符号
a>bc<0⇒________
5
同向
可加性
a>bc>d⇒________
同向
6
同向同正
可乘性
a>b>0c>d>0⇒________
同向
7
可乘方性
a＞b＞0⇒________
(n∈N，n≥2)
同正
8
可开方
a＞b＞0⇒________(n∈N，n≥2)
同正