高中数学2.2.1 不等式及其性质评课课件ppt

2.2　不等式

2.2.1　不等式及其性质

第1课时　不等式及其性质

知识点一　不等关系与不等式

1．不等式的定义

我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．

2．比较两个实数(代数式)的大小

作差法的理论依据：

a－b＜0⇔a＜b；

a－b＝0⇔a＝b；

a－b＞0⇔a＞b.

1．(1)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　)

A．t＞s　　　B．t≥s　　　C．t＜s　　　D．t≤s

(2)设a，b＞0，P＝＋，Q＝，则P与Q的大小关系是(　　)

A．P≥Q　　　B．P≤Q　　　C．P＞Q　　　D．P＜Q

(1)D　(2)C　[(1)∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s.

(2)P2＝(＋)2＝a＋b＋2，Q2＝()2＝a＋b.∵a，b＞0，∴P2＞Q2.∴P＞Q.]

知识点二　不等式的性质

1．不等式的性质

(1)性质1(可加性)：a＞b⇒a＋c＞b＋c.

(2)性质2(可乘性)：⇒ac＞bc.

(3)性质3(可乘性)：⇒ac＜bc.

(4)性质4(传递法)：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(5)性质5(对称性)：a＞b⇔b＜a.

2．不等式性质的推论

(1)推论1(移项法则)：a＋b＞c⇒a＞c－b.

(2)推论2(同向可加性)：⇒a＋c＞b＋d.

(3)推论3(同向同正可乘性)：⇒ac＞bd.

(4)推论4(正数乘方性)：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1)．

(5)推论5(正数开方性)：a＞b＞0⇒＞.

利用不等式性质应注意哪些问题？

[提示]　在使用不等式时，一定要弄清不等式(组)成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可

乘性中的“c的符号”等都需要注意．

2.已知a≥b，可以推出(　　)

A．≥ B．ac2≥bc2

C．＞ D．(ac)2≥(bc)2

B　[∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.]

3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d.  (　　)

(2)若a＞b，则＜.  (　　)

(3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞.  (　　)

(4)已知a＞b，e＞f，c＞0，则f－ac＜e－bc. (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

[提示]　(1)因为c＜d，所以－c＞－d，又a＞b.

所以a－c＞b－d.

(2)因为a＞b，若a＞0，b＜0，则＞，故＜错误．

(3)因为c＞d＞0，所以＞＞0，又因为a＞b＞0，所以＞.

(4)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故－ac＜－bc，又因为e＞f，即f＜e，

所以f－ac＜e－bc.

类型1　比较两数(式)的大小

【例1】　(对接教材P60例1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．

[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)

＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．

∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，

∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．

作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤

类型2　利用不等式性质判断命题真假

【例2】　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＞b＞0，则＞

C．若a＜b＜0，则＞

D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0

[思路点拨]　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．

D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；

由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞，故B为假命题；

a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－＞－＞0⇒＞，

故C为假命题；

⇒ab＜0.

∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．

法二：特殊值排除法．

取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；

取a＝2，b＝1，则＝，＝1．有＜，故B错；

取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有＜，故C错．故选D．]

运用不等式的性质判断命题真假的技巧

(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．

(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

1．下列命题正确的是(　　)

A．若a2＞b2，则a＞b

B．若＞，则a＜b

C．若ac＞bc，则a＞b

D．若＜，则a＜b

D　[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故选D．]

2．若a，b∈R，则使a＜b与＞同时成立的条件是________．

a＜b＜0或0＜a＜b　[由＞得－＞0，即＞0①，

又a＜b，故b－a＞0②，由①②得

所以a＜b＜0或0＜a＜b.]

类型3　不等式性质的应用

1．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？

[提示]　不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．

2．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？

∵2<a－b<4，

∴－4<b－a<－2.

又∵－2<a＋b<2，

∴0<a<3，－3<b<0，

∴－3<a＋b<3.

这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？

[提示]　利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．

【例3】　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．

[思路点拨]　依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围．

[解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8，

所以－8＜－b＜－2，

所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.

又因为＜＜，所以＜＜＝2，

即＜＜2.

求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.

3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．

[解]　∵－≤α＜β≤，

∴－≤＜，－＜≤，

两式相加，得－＜＜.

又∵－＜≤，∴－≤－＜，

∴－≤＜，又知α＜β，∴＜0.

故－≤＜0.

1．设M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(a－2)，则(　　)

A．M＞N　　B．M≥N　　C．M＜N　　D．M≤N

C　[N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，即M＜N，故选C．]

2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是(　　)

A．a－d＞b－c B．－＜－

C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd

C　[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，

即a－d＞b－c，所以A正确；

由c＞d＞0，得＞＞0，又a＞b＞0，所以＞，－＜－，即B正确；

显然D正确，因此不正确的选项是C．]

3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　)

A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1

C．－1＜α－β＜0  D．－1＜α－β＜1

A　[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1．

∴－2＜α－β＜2，但α＜β，

故知－2＜α－β＜0.故选A．]

4．(多选题)已知a，b，c为非零实数，且a－b≥0，则下列结论正确的有(　　)

A．a＋c≥b＋c B．－a≤－b

C．a2≥b2 D．≥

ABD　[因为a－b≥0，所以a≥b.根据不等式的性质可知A，B正确；因为a，b的符号不确定，所以C不正确；－＝≥0.可得≥，所以D正确．]

5．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围是________，的取值范围是________．

(27,56)　　[由28＜y＜33得－33＜－y＜－28，

＜＜，

则60－33＜x－y＜84－28，

即27＜x－y＜56，

则＜＜，即＜＜3.]

回顾本节知识，自我完成下列问题：

1．作差比较法的四个步骤是什么？

[提示]　(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．

(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方、有理化等方法进行变形．

(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．

(4)作出结论．

上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．

2．利用不等式的性质判断正误有哪2种方法？

[提示]　(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．

(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．

实际问题中的不等关系

糖水跟煲汤一样，具有滋补养生的功效．可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性．根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果．专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠．在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠．

下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？

(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；

(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；

(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．

[提示]　(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式＞(其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．

不妨用作差比较法，证明如下：

－＝＝.

∵a，b，m为正实数，且a＜b，

∴b＋m＞0，b－a＞0，

∴＞0，

即＞.

(2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且＜，求证：＜＜(其中b＞a＞0，d＞c＞0)．

证明：∵＜，

且b＞a＞0，d＞c＞0，

∴ad＜bc，即bc－ad＞0，

－＝＝＜0，

即＜，

－＝＝＞0，

即＜.

∴＜＜.

(3)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：＞(其中b＞a＞0，m＞0)．

证明：－＝＝＞0，

∴＞.

[结论]　(1)如果一个分式(b＞a＞0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大．

(2)两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间．

(3)一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小．

建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？

[解]　设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且a＜b，由题设及“糖水浓度不等式”可得：

≤＜.

故住宅的采光条件变好了．