数学人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质测试题

5.4  三角函数的图象与性质

【题组一 五点画图】

1．（2020·永州市第四中学高一月考）函数，的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.故选B.

2．（2020·全国高一课时练习）请用“五点法”画出函数的图象．

【答案】作图见解析.

【解析】令，则当x变化时，y的值如下表：

描点画图：

这是一个周期上的图像，然后将函数在上的图像向左、向右平移周期的正整数倍个单位即得的图像．

3．（2020·全国高一课时练习）画出下列函数的简图:

(1),;

(2),.

【答案】（1）见解析（2）见解析(1)按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):

(2)按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):

5．（2020·全国高一课时练习）“五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？

【答案】答案见解析.

【解析】

6．（2020·全国高一课时练习）在同一直角坐标系中,画出函数,,,的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.

【答案】见解析

【解析】可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.

【题组二 周期】

1．（2020·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是（    ）

A． B． C．2π D．5π

【答案】D

【解析】由题意，函数，所以函数的最小正周期是：.故选：D．

2．（2020·辽宁沈阳·高一期中）下列函数中最小正周期为的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对A选项，令，则

，不满足，

所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为；

对B选项，的最小正周期为：；

对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D故选C

3．（2020·河南洛阳·高一期末（文））的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】的最小正周期是.故选：A.

4．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））函数的最小正周期是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】函数的最小正周期是，故选：B．

【题组三 对称性】

1．（2019·伊美区第二中学高一月考）函数图象的对称轴方程可能是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的对称轴方程满足： ,

即： ,令 可得对称轴方程为 .本题选择D选项.

2．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数的图像的一条对称轴是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把代入后得到,因而对称轴为，选.

3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】令，可得，，当最小故答案为：

【题组四 单调性】

1．下列函数中,在内是增函数且以为最小正周期的函数是 （ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于最小正周期等于,而的周期为与的周期为,故排除B、D两个选项；在内，不是增函数,排除选项C,只有在内是增函数且以为最小正周期，故选A.

2．（2020·全国高一课时练习）函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据正切函数性质可知，当时，函数单调递增，即，故选：C.

3．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减

【答案】D

【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；

f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；

∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；

由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．

故选D.

4．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据的最小正周期为，故可得，解得.

又其关于中心对称，故可得，又，

故可得.则.

令，

解得.

故在单调递增.

又，且都在区间中，

且，故可得.

故选：.

【题组五 奇偶性】

1．（2020·全国高一课时练习）对于函数，下列命题正确的是（      ）

A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数

C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数

【答案】D

【解析】因为函数，,且是奇函数，故答案为D.

2．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数，为偶函数，则的值为______

【答案】

【解析】因为为偶函数，故轴为其图象的对称轴，

所以，故，因为，故，故答案为：.

3.下列函数不是奇函数的是

A．y＝sin x         B．y＝sin 2x

C．y＝sin x＋2        D．y＝sin x

【答案】C

【解析】当x＝时，y＝sin＋2＝3，当x＝－时，y＝sin(－)＋2＝1，∴函数y＝sin x＋2是非奇非偶函数．

4.（2019·陕西高一期末）若函数的图像关于轴对称,则=（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵函数f（x）＝cos（）＝sin （φ∈[0，2π]）的图象关于y轴对称，∴，由题知 φ，故选：B．

【题组六 定义域】

1．（2020·全国专题练习）函数 的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】要使原函数有意义，则 ，即

所以 解得：

所以，原函数的定义域为 故选D．

2．（2020·内蒙古集宁一中高一期末（理））函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由得：.

所以函数的定义域是.故选：C.

3．（2020·全国高一课时练习）求函数f(x)＝lgsinx＋的定义域             ．

【答案】

【解析】由题意，要使f(x)有意义，则，由，得，

由，得，所以或所以函数f(x)的定义域为

【题组七  值域】

1．（2020·重庆高三其他（文））设函数在上的值域为，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，所以，解得.

故选：A

2．（2020·涡阳县第九中学高一月考）在上的值域为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，即，故选C．

3．函数的值域是 ______.

【答案】

【解析】因为在上递增，在上递减，

所以有最大值，

又因为，

所以有最小值0，

函数的值域是.故答案为.

4．（2020·上海市进才中学高一期末）函数的最小值为________.

【答案】

【解析】，，，

所以函数的最小值为.故答案为：

5．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）函数的值域是________

【答案】

【解析】,

设，，则，

当时，函数有最大值为；当时，函数有最小值为.

故函数值域为.故答案为：.

6．（2020·永州市第四中学高一月考）设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是    ．

【答案】

【解析】∵f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣+，

故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为，故答案为．

7．（2020·河南林州一中高一月考）函数的值域________．

【答案】

【解析】，

 ， ，故，故答案为：

8．（2020·广东广州·期末）已知函数f(x)=sin(x+)(>0)的图象相邻两对称轴间的距离等于，若x∈R.f(x)≤，则正数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意得，所以，所以，所以，

又对x∈R.f(x)≤，所以直线是函数的对称轴，

所以，，即，，又，所以时，取得最小值.故选：D.

【题组八 正切函数性质】

1．（2020·山东潍坊·高一期末）若函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，函数的最小正周期为，

可得，解得，即，

令，即，

当时，，即函数在上单调递增，

又由，

又由，所以.故选：C.

2．（2020·陕西渭滨·高一期末）函数的一个对称中心是（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】因为；；

；当时， .

所以、是函数的对称中心.故选：AD

3．（2019·伊美区第二中学高一月考）求函数的定义域和单调区间．

【答案】定义域为，单调增区间为，无单调减区间.

【解析】令，解得，

故的定义域为；

令，解得，

故的单调增区间为，

该函数没有单调减区间.

4．（2020·全国高一课时练习）求函数的单调区间及最小正周期．

【答案】 ，

【解析】因为，

又，，解得，，

所以的单调减区间为.

因为，所以.