高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用达标测试，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.电流强度 I （安）随时间 t （秒）变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2) 的图像如图所示，则当 t=1100 秒时，电流强度是（ ）
A. 10安 B. 5安 C. 53 安 D. -5安
2.如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： f(x)=Asin(ωx+φ)+b ，则中午 12 点时最接近的温度为（ ）
A. 26°C B. 27°C C. 28°C D. 29°C
3.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A. y=3sinπ6t+12 B. y=-3sinπ6t+12 C. y=3sinπ12t+12 D. y=3csπ12t+12
4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为P032,12 ， 秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A. y=sinπ30t+π6 B. y=sin-π60t-π6
C. y=sin-π30t+π6 D. y=sin-π30t-π6
5.某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（ ）
A. 17 B. 16 C. 5 D. 4
6.夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A. 25°C B. 26°C C. 27°C D. 28°C
7.设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A. y=12+3sinπ12t B. y=12+3sinπ6t+π
C. y=12+3sinπ6t D. y=12+3sinπ12t+π2
8.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数 和 描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A. 仍保持平静 B. 不断波动 C. 周期性保持平静 D. 周期性保持波动
9.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A. ω=π2,φ=π4 B. ω=π3,φ=π6 C. ω=π4,φ=π4 D. ω=π4,φ=5π4
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A＞0，φ<π2）的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象( )
A. 向右平移π6个长度单位 B. 向左平移π6个长度单位
C. 向右平移π3个长度单位 D. 向左平移π3个长度单位
二、填空题
11.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=Acs[π6(x-6)]+B(x=1,2,...,12) 来表示.已知 月份的平均气温最高，为 28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.
12.某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（π8x+3π4）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为________ 小时．
13.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω=________．
14.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是________．
三、解答题
15.受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间 t （ 0≤t≤24 ，单位：小时， t=0 表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为 y=f(t), f(t)=Asin(ωt+φ)+K (A>0,ω>0,|φ|<π2) ．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米．
（1）试求函数 y=f(t) 的表达式；
（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3．5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
16.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 π 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,-π2<φ<π2) .
（1）求 A,ω,φ,K 的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻 t0 (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 π6 分钟后，盛水筒W是否在水中？
17.某企业一天中不同时刻的用电量 y （万千瓦时）关于时间 t （单位：小时，其中 0≤t≤24,t=0 对应凌晨0点）的函数 y=f(t) 近似满足 f(t)=Asin(ωt+φ)+B (A>0,ω>0,0<φ<π) ,如图是函数 f(t) 的部分图象．
（1）求 f(t) 的解析式；
（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量 f(t) （万千瓦时）与时间 t （小时）的关系可用线性函数模型 g(t)=-2t+25(0≤t≤12) 模拟，当供电量 g(t) 小于企业用电量 f(t) 时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间 t0 在中午11点到12点之间，用二分法估算 t0 所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．
18.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．
（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？
19.某实验室白天的温度 f(t) （单位： °C ）随时间 t （单位： ）的变化近似满足函数关系： f(t)=10-2sin(π12t+π3) ， t∈[6,18] .
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温差不高于 11°C ，则在哪段时间实验室需要降温？
20.在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间（h）近似满足关系式d=Asin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|< π2 ）
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系.
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解】根据函数图像可知, A=10
4300-1300=T2 ,所以解得 T=150
由周期公式 T=2πω 代入可得 ω=2πT=2π150=100π
所以函数 I=10sin(100πt+φ)
将 (1300,10) 代入可得 10=10sin(100π×1300+φ)
则 π3+φ=π2+2kπ,k∈Z
由 0<φ<π2 可知当 k=0 时解得 φ=π6
所以函数 I=10sin(100πt+π6)
当 t=1100 时,代入可得 I=10sin(100π×1100+π6)
=10sin(π+π6)
=10×(-12)=-5
故选:D
【分析】根据所给函数图像,即可求得函数 I=Asin(ωt+φ) 的解析式,再代入 t=1100 即可求解.
2.【答案】 B
解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 {A+B=30B-A=10 得：A=10，B=20°C；
又 T2 =14﹣6=8，
∴T=16= 2π|ω| ，
∴|ω|= π8 ，不妨取ω= π8 ．
由图可知，6× π8 +φ=2kπ﹣ π2 （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ 54π ，不妨取φ= 34π ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ π8 x+ 34π ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ π8 ×12+ 34π ）+20°C=10sin 94π +20°C=20+10sin π4 =5 2 +20°C≈27°C．
故答案为：B．
3.【答案】A
解：依题意， {A+K=15-A+K=9 ，解得 {A=3K=12 ， 又T= 2πω=12 ，
∴ω= π6 ．
又f（3）=15，
∴3sin（ 36π +φ）+12=15，
∴sin（ π2 +φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin π6 t+12．
故选：A．
4.【答案】 C
解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣2π60=﹣π30（弧度/秒），
由P0（32 ， 12），得，csφ=32 ， sinφ=12 ．
解得φ=π6 ，
故选：C．
5.【答案】 B
解：由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=13﹣10=3，b=10，所以；
由该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（m），∴3sinπ6t+10≥11.5，
即（k∈Z），
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），在同一天内，取k=0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时．
6.【答案】 C
解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵T2=14-6 ， ∴T=16
∵T=2πω ， ∴ω=π8
∴y=10sin（π8x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（π8×14+φ）+20
∴sin（π8×14+φ）=1
∴φ可以取3π4
∴y=10sin（π8x+3π4）+20
当x=12时，y=10sin（π8×12+3π4）+20=10×22+20≈27.07
故选C．
7.【答案】 C
解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系，可得函数的周期T=12可排除A、D，将（3，15）代入B，C，可排除B，C满足．
故选C
8.【答案】 A
解：∵ +
=sint+sint•cs +cst•sin +sint•cs +cst•sin
=sint﹣ sint+ cst﹣ sint﹣ cst
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静
故选A
9.【答案】 C
【解】观察图象可知，A=1，T=4（3－1)=8，所以。将（1,1)代入得所以， 故选C。
10.【答案】 B
【【解】观察图象知A=1，T=4（)=π，=2，即， 将（， 0)代入上式，得， 结合得=。因此。只需将g(x)=sin2x的图象向左平移个长度单位即得。选B。
二、填空题
11.【答案】 20.5
【解】据题意得 28=A+B ， 18=-A+B
解得 A=5 ， B=23
所以 y=23+5cs[π6(x-6)]
令 x=10 得 y=23+5cs[π6(10-6)]=23+5cs2π3=20.5 .
故答案为：20.5
12.【答案】 8
解：由题意，10sin（π8x+3π4）+20≥20
∴sin（π8x+3π4）≥0
∴2kπ≤π8x+3π4≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2，
∵x∈[6，20]，
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为：8
13.【答案】
【解】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
三、解答题
15.【答案】 （1）解：依题意， A+K=12,-A+K=6,2πω=12 ，∴ A=3,K=9 ， ω=π6 ，又 f(13)=10.5 ，∴ 3sin(13π6+φ)+9=10.5 ，∴ sin(π6+φ)=12 ，又 -π2<φ<π2 ，∴ φ=0 ，∴ y=f(t)=3sinπ6t+9
（2）解：令 3sinπ6t+9≥7+3.5 得 sinπ6t≥12 ，∴ 2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6 ，∴ 12k+1≤t≤12k+5,k∈Z
∵ 0≤t≤24 ，∴ 1≤t≤5 或 13≤t≤17 ，∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口
16.【答案】 （1）解：由题意知， T=π ，即 2πω=π ，所以 ω=2 ，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得： A=4,K=2 ，
当 t=0 时， d=0 ，代入 d=4sin(2t+φ)+2 得， sinφ=-12 ，
因为 -π2<φ<π2 ，所以 φ=-π6
（2）解：由（1）知： d=4sin(2t-π6)+2 ，
盛水筒达到最高点时， d=6 ，
当 d=6 时， 6=4sin(2t-π6)+2 ，所以 sin(2t-π6)=1 ，
所以 2t-π6=π2+2kπ,k∈Z ，解得 t=kπ+π3,k∈Z ，
因为 t>0 ，所以，当 k=0 时， tmin=π3 ，
所以盛水筒出水后至少经过 π3 分钟就可达到最高点
（3）解：由题知： 4sin(2t0-π6)+2=5 ，即 sin(2t0-π6)=34 ，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 cs(2t0-π6)<0 ，
所以 cs(2t0-π6)=-1-sin2(2t0-π6)=-74 ，
所以 sin[2(t0+π6)-π6]=sin[(2t0-π6)+π3]=34×12+(-74)×32=3-218 ，
所以，再经过 π6 分钟后 d=4×3-218+2=7-212>0 ，
所以再经过 π6 分钟后盛水筒不在水中

17.【答案】 （1）解：由图象可知A= 2.5-1.52 = 12 ，B= 2.5+1.52 =2，T=12= 2πω ，ω= π6 ， 代入点（0，2.5）得sinφ=1， ∵0＜φ＜π，∴φ= π2 ；
综上，A= 12 ，B=2，ω= π6 ，φ= π2 ，
即f（t）= 12 sin（ π6 t+ π2 ）+2.
（2）解：由（1）知f（t）= 12 sin（ π6 t+ π2 ）+2= 12 cs π6 t+2，
令h（t）=f（t）-g（t），
设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间；
易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数；
由h（11）=f（11）-g（11）= 12 cs 11π6 +2+2×11-25= 34 -1＜0，
h（12）=f（12）-g（12）= 12 cs 12π6 +2+2×12-25= 32 ＞0，
又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）= 12 cs 23π12 +2+2×11.5-25= 12 cs（- π12 ）= 12 cs π12 = 6+28 ＞0，
则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）= 12 cs 45π24 +2+2×11.25-25＜ 12 ×1-0.5=0，
则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．
所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）.
18.【答案】 解：（1）由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω=2π12=π6
（2）由（1）知y=3sin（t）+5（0≤t≤24）；
由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m），
∴当y≥6.5时，货船就可以进港，即3sin（π6t）+5≥6.5，
∴sin（π6t）≥0.5，
∵0≤t≤24，∴0≤π6t≤4π
∴π6≤π6t≤5π6 ， 或13π6≤π6t≤17π6 ，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．
19.【答案】 （1）解:已知 f(t)=10-2sin(π12t+π3) ，
因为 6≤t≤18 ，所以 5π6≤π12t+π3≤11π6 ， -1≤sin(π12t+π3)≤12 ，
所以 f(t) 在 t∈[6,18] 上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为 12°C ，最低温度为 9°C ，最大温差为 3°C
（2）解:依题意当 f(t)>11 时，实验室需要降温，即 10-2sin(π12t+π3)>11 ，
sin(π12t+π3)<-12 ，∴ 2kπ+7π6<π12t+π3<2kπ+11π6 ， k∈Z ，
∴ 24k+10∴ 1020.【答案】 （1）解：依题意知T= 2πω =12，
故ω= π6 ，h= 8.4+162 =12.2，A=16-12.2=3.8，
所以d=3.8sin（ π6 t+φ）+12.2
又因为t=4时，d=16，所以sin（ 4π6 t+φ）=1,
所以φ=- π6 ，所以d=3.8sin（ π6 t- π6 ）+12.2
（2）解：t=17时，d=3.8sin( 17π6 - π6 )+12.2=3.8sin 2π3 +12.2≈15.5（m）
（3）解：令3.8sin（ π6 t- π6 ）+12.2<10.3，即sin（ π6 t- π6 ）<- 12 ，
因此2kπ+ 7π6 < π6 t- π6 <2kπ+ 11π6 ，k∈Z
所以12k+8令k=0，t（8，12），令k=1，t∈（20，24）
故这一天共有8h水深低于10.3m.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/m
5.0
8.0
5.0
2.0
5.0
8.0
5.0
2.0
5.0