人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用随堂练习题
展开5.7 三角函数的应用(精练)
【题组一 圆周运动】
1.(2021·全国高一单元测试)如图,为一半径为3m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始1min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
C.ω=,A=5 D.ω=,A=5
【答案】A
2.(2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.据史料记载,水车发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为,其纵坐标满足,则下列叙述正确的是( )
A.水斗作周期运动的初相为
B.在水斗开始旋转的60秒(含)中,其高度不断增加
C.在水斗开始旋转的60秒(含)中,其最高点离平衡位置的纵向距离是
D.当水斗旋转100秒时,其和初始点A的距离为6
【答案】AD
3.(2021·全国高一课时练习)(多选)如图,一个水轮的半径为,水轮轴心距离水面的高度为,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动圈,当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时,记为点距离水面的高度关于时间的函数,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若,则
D.不论为何值,是定值
【答案】BD
4.(2021·全国高一课时练习)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为,其纵坐标满足,则下列结论正确的是( )
A.
B.当时,函数单调递增.
C.当时,函数最小值为.
D.当9时,
【答案】BD
5.(2021·全国高一课时练习)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗?
(2)转四圈需要多少时间?
(3)你第四次距地面最高需要多少时间?
(4)转60分钟时,你距离地面是多少?
【解】(1)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心距离地面40.5米,半径40米,从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象.
(2)每转一圈需要12分钟,
转四圈需要分钟.
(3)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心距离地面
40.5米,半径40米,
出发后6分钟时,摩天轮第一次到达最高点,
你第四次距地面最高需要:分钟.
(4)由已知可设,,
由周期为12分钟可知,
当时,摩天轮第一次到达最高点,即函数第一次取得最大值,所以,即,
,
转60分钟时,你距离地面高度为:(米).
【题组二 几何问题】
1.(2021·安徽芜湖一中高一月考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方,在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一水平面上,则旗杆的高度为___________.
【答案】15米
2.(2021·江苏高一期中)如图,在扇形POQ中,半径,圆心角,B是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.其中CD在半径OQ上,记.
(1)当时,求矩形ABCD的面积;
(2)求当角取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
【解】(1)在中,,,
在中,,
所以,
所以,
设矩形ABCD的面积为S,则.
(2)在中,,.
在中,,
所以,
所以,
设矩形ABCD的面积为S,
则,
,
由,得,
所以当,即时.
因此,当时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.
3.(2021·江苏高一专题练习)圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑,1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位,是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美,如左图.某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度,他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物,测得建筑物的高度为h,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为和,在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为,且与都垂直地面,如右图,那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少?(结果用h,,,表示)
解:由题可知,在中,,
设,
则,
在中,,
则.
在中,
∴
由正弦定理可知
,
即.
∴
答:索菲亚教堂的高度为.
【题组三 其他问题】
1.(2021·全国高一课时练习)在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量,得到10次测量结果(时间近似到0.1小时),结果如表所示:
日期 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 |
日期位置序号 | ||||||||||
存活时间小时 |
(1)试选用一个形如的函数来近似描述一年(按天计)中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式.
(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于小时.
【解】(1)由表格可知函数的最大值为,最小值为,,
,又,,
当时,,解得:,
.
(2)由得:,即,
解得:,
这种细菌一年中大约有天(或天)的存活时间大于小时.
2.(2021·广东铁一中学高一月考)“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注,为了使基础设施更加完善,现需对部分区域进行改造.如图,在道路北侧准备修建一段新步道,新步道开始部分的曲线段是函数的图象,且图象的最高点为.中间部分是长为1千米的直线段,且.新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧.
(1)试确定的值;
(2)若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站,并要求矩形一边紧靠道路,顶点Q落在半径上,另一顶点P落在圆弧上.记,请问矩形面积最大时应取何值,并求出最大面积?
【解】(1)∵,∴,∴.
图象过,∴,又,∴.
(2)由(1)知,交y轴于,又,
∴.
又,∴,,
∴
又,∴时,此时矩形面积最大为.
3.(2021·兴仁市凤凰中学高一期末)某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是水深数据:
t(小时) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y(米) | 10.0 | 13.0 | 9.9 | 7.0 | 10.0 | 13.0 | 10.1 | 7.0 | 10.0 |
据上述数据描成的曲线如图所示,该曲线可近似的看成函数的图象.
(1)试根据数据表和曲线,求的解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?
【答案】(1);(2)至或至.
【解析】1)根据数据,可得,
,,
,
,
函数的表达式为;
(2)由题意,水深,
即,
,
,,,1,
,或,;
所以,该船在至或至能安全进港.
4.(2021·北京市第一六一中学)海水受日月的引カ,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位:m)记录表.
时刻 | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
水深值 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 |
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系,则这个函数关系式是________.
【解】设与之间的函数关系式为,
则由表中数据可得,且,
故且,所以
因为当时,,所以,
解得,故,其中.
故答案为:.
5.(2021·全国高一课时练习)埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口,其水深度(米)时间(,单位:时)的函数,记作,下面是水深与时间的数据:
(时) | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
(米) | 12.0 | 15.0 | 18.1 | 14.9 | 12.0 | 15.0 | 18.0 | 15.0 |
经长期观察,的曲线可近似地看出函数(其中,,的图象.
(1)试根据以上数据,求出函数的近似表达式;
(2)一般情况下,轮船航行时港口船底离海底的距离为3米或3米以上时认为是安全的(船舶停靠时,近似认为海底是平面),停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港,其最大吃水深度(船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度,是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离)需12米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间).
【解】(1)根据表格可得出:, ,.由可知;当时函数取最大值,即,,可得,又因为,得到,函数的近似表达式为.
(2)由题意得航行时,即.
因为,所以.
通过正弦函数图象可知,当,
即时,.
由于停泊时的要求恒成立,
“长赐号”集装箱船如果该船希望在同一天内安全进出港,
它至多能在港内停留小时.
6.(2021·全国高一课时练习)某地一天的时间,单位:时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象,如图所示.
(1)根据图中数据,试求的表达式.
(2)该地居民老张因身体不适在家休养,医生建议其外出进行活动时,室外气温不低于,根据(1)中模型,老张该日可在哪一时段外出活动,活动时长最长不超过多长时间?
【解】(1)依题意可得解得,又即,解得,所以,又函数过点,所以,即,所以,解得,因为,所以,所以
(2)依题意令,即
所以
解得
因为
所以,又
即老张可在外出活动,活动时长最长不超过小时;
7.(2021·全国)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻 | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
水深/米 | 4.5 | 6.5 | 4.5 | 2.5 | 4.5 | 6.5 | 4.5 | 2.5 | 4.5 |
(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数,,画出函数图象,并求出函数解析式.
(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
参考数据:
【解析】(1)
由图象可知,,
则有
又因为时取最大值6.5,可得,
所以
(2)货船需要的安全水深为米,
所以当时就可以进港.
令,
得
得,
即,
当时,;当时,,
所以,该船在2:00或14:00点可以进入港口,在港口可以停留2个小时.
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