人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质第1课时导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质第1课时导学案及答案，共9页。

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质


第1课时 周期性与奇偶性








丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V164－8.0 MW，全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21 000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8～12.1 rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7 500个家庭的电力需求．





风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益．这种周而复始的转动就是周期现象．


问题：(1)你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω＞0)的周期是多少？


(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？


提示：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数，y＝f(ωx)的周期为eq \f(T,ω).


(2)与ω有关，T＝eq \f(2π,|ω|).





1．函数的周期性


(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．


(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．


2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)，则eq \f(2π,3)是函数y＝sin x的一个周期．( )


(2)所有的周期函数都有最小正周期．( )


(3)函数y＝eq \r(sin x)是奇函数．( )


[提示] (1)×.因为对任意x，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))与sin x并不一定相等．


(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．


(3)×.函数y＝eq \r(sin x)的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))是( )


A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数


C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数


B [y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x，它是周期为π的偶函数．]


3．函数f(x)＝eq \r(2)sin 2x的奇偶性为( )


A．奇函数 B．偶函数


C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数


A [f(x)＝eq \r(2)sin 2x的定义域为R，f(－x)＝eq \r(2)sin 2(－x)


＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]


4．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为 ．


4 [由已知得f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.]








【例1】 求下列函数的周期：


(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))；


(2)y＝|sin x|.


[思路点拨] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．


法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．


(2)作函数图象，观察出周期．


[解] (1)法一：(定义法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,4)))，


所以周期为π.


法二：(公式法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))中ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)作图如下：





观察图象可知周期为π.





求三角函数周期的方法：


(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．


(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).


(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．


提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).





eq \([跟进训练])


1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．


(1)y＝cs 2x，x∈R；


(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，x∈R.


[解] (1)因为cs 2(x＋π)＝cs(2x＋2π)＝cs 2x，由周期函数的定义知，y＝cs 2x的周期为π.


(2)因为sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,4)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋2π－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，由周期函数的定义知，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))的周期为6π.


【例2】 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；


(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；


(3)f(x)＝eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sin x).


[思路点拨]





[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cseq \f(1,2)x，


∵f(－x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))＝cseq \f(1,2)x＝f(x)，


∴f(x)是偶函数．


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－sin x＞0，,1＋sin x＞0，))得－1＜sin x＜1，


解得定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，


∴f(x)的定义域关于原点对称．


又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，


∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]


＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，


∴f(x)为奇函数．


(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，


∴x∈R且x≠2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.


∵定义域不关于原点对称，


∴该函数是非奇非偶函数．





1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：


一看函数的定义域是否关于原点对称；


二看f(x)与f(－x)的关系．


2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．


提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．





eq \([跟进训练])


2．判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋2x))＋x2sin x；


(2)f(x)＝eq \r(1－2cs x)＋eq \r(2cs x－1).


[解] (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，


又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)


＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，


∴f(x)是奇函数．


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2cs x≥0，,2cs x－1≥0，))得cs x＝eq \f(1,2)，


∴f(x)＝0，x＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，


∴f(x)既是奇函数又是偶函数.


[探究问题]


1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？


提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcs x等．偶函数有y＝cs 2x＋1，y＝3cs 5x，y＝sin x·sin 2x等．


2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2 020)的值是多少？


提示：f(2 020)＝f(0＋1 010×2)＝f(0)＝0.


【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )


A．y＝cs|2x| B．y＝|sin 2x|


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))


(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )


A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)


C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)


[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．


(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))；再依据f(x)是偶函数和x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)＝sin x求值．


(1)D (2)D [(1)y＝cs|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝cs 2x是偶函数，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.


(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))


＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).]





若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“eq \f(11π,12)”，其他条件不变，结果如何？


[解] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－\f(11π,12)×2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))


＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－sineq \f(π,6)＝－eq \f(1,2).





1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略


探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．


2．与三角函数奇偶性有关的结论


(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；


(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；


(3)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；


(4)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．











1．掌握2个知识点——周期性、奇偶性


(1)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．


(2)在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数．


2．规避1个易错


函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝eq \f(2π,|ω|).





1．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )








D [观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．]


2．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于 ．


0 [因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.]


3．函数f(x)＝eq \r(2)cs 2x＋1的图象关于 对称(填“原点”或“y轴”．)


y轴 [函数的定义域为R，f(－x)＝eq \r(2)cs 2(－x)＋1＝eq \r(2)cs(－2x)＋1＝eq \r(2)cs 2x＋1＝f(x)，


故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．]


4．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝ .


－3 [由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]


5．判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝－2cs 3x；


(2)f(x)＝xsin(x＋π)．


[解] (1)f(－x)＝－2cs 3(－x)


＝－2cs 3x＝f(x)，x∈R，


所以f(x)＝－2cs 3x为偶函数．


(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，


所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，


故函数f(x)为偶函数．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．


2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期．(重点)


3．掌握函数y＝sin x，y＝cs x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．


2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.
函数
y＝sin x
y＝cs x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
三角函数的周期问题及简单应用
三角函数奇偶性的判断
三角函数的奇偶性与周期性的综合应用