高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时学案设计

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第2课时 单调性与最值








过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径．





问题：(1)函数y＝sin x与y＝cs x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin x，y＝cs x的哪些性质？


(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin x，y＝cs x的哪些性质？y＝sin x，y＝cs x在什么位置取得最大(小)值？


提示：(1)单调性；(2)最值，波峰，波谷．





思考：y＝sin x和y＝cs x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？


提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝eq \f(π,2)，n＝π.





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．( )


(2)cs 1＞cs 2＞cs 3.( )


(3)函数y＝－eq \f(1,2)sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最大值为0.( )


[提示] (1)错误．y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数．


(2)正确．y＝cs x在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cs 1＞cs 2＞cs 3.


(3)正确．函数y＝－eq \f(1,2)sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．函数y＝－cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是( )


A．增函数 B．减函数


C．先减后增函数 D．先增后减函数


C [因为y＝cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先增后减，所以y＝－cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先减后增．]


3．函数y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x≤\f(5π,6)))的值域为 ．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) [因为eq \f(π,4)≤x≤eq \f(5π,6)，所以eq \f(1,2)≤sin x≤1，即所求的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).]


4．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为 ．


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z)))) [当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，


此时x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.]








【例1】 (1)函数y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是 ．


(2)已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函数f(x)的单调递增区间．


[思路点拨] (1)确定a的范围→y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cs x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．


(2)确定增区间→令u＝eq \f(π,4)＋2x→y＝eq \r(2)sin u的单调递增区间．


(1)(－π，0] [因为y＝cs x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]


(2)[解] 令u＝eq \f(π,4)＋2x，函数y＝eq \r(2)sin u的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(π,4)＋2x≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ，k∈Z.


所以函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2x))＋1的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))，k∈Z.





1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acs(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．


2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．


提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．





eq \([跟进训练])


1．(1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的单调递减区间为 ．


(2)已知函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，则它的单调减区间为 ．


(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,9)，\f(π,3))) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z) [(1)由eq \f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，


得eq \f(π,9)＋eq \f(2kπ,3)≤x≤eq \f(4π,9)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)．


又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，


所以函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))，


x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,9)，\f(π,3))).


(2)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


由2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，


得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，∴单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．]


【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．


(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))；


(2)sin 196°与cs 156°；


(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).


[思路点拨] eq \x(用诱导公式化简)→


[解] (1)∵－eq \f(π,2)＜－eq \f(π,10)＜－eq \f(π,18)＜eq \f(π,2)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10))).


(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，


cs 156°＝cs(180°－24°)＝－cs 24°＝－sin 66°，


∵0°＜16°＜66°＜90°，


∴sin 16°＜sin 66°，


从而－sin 16°＞－sin 66°，


即sin 196°＞cs 156°.


(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))＝cseq \f(23,5)π


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(3,5)π))＝cseq \f(3,5)π，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝cseq \f(17,4)π


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))＝cseq \f(π,4).


∵0＜eq \f(π,4)＜eq \f(3,5)π＜π，且y＝cs x在[0，π]上是减函数，


∴cseq \f(3,5)π＜cseq \f(π,4)，


即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).





三角函数值大小比较的策略


1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.


2不同名的函数化为同名的函数.


3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.





eq \([跟进训练])


2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )


A．sin α＜sin β B．cs α＜sin β


C．cs α＜cs β D．cs α ＞cs β


(2)比较下列各组数的大小：


①cseq \f(15π,8)，cseq \f(14π,9)；②cs 1，sin 1.


(1)B [α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞eq \f(π,2)，α＞eq \f(π,2)－β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \f(π,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以cs α＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝sin β.]


(2)[解] ①cseq \f(15π,8)＝cseq \f(π,8)，cseq \f(14π,9)＝cseq \f(4π,9)，因为0＜eq \f(π,8)＜eq \f(4π,9)＜π，而y＝cs x在[0，π]上单调递减，


所以cseq \f(π,8)＞cseq \f(4π,9)，即cseq \f(15π,8)＞cseq \f(14π,9).


②因为cs 1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))，而0＜eq \f(π,2)－1＜1＜eq \f(π,2)且y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))＜sin 1，


即cs 1＜sin 1.


[探究问题]


1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在x∈[0，π]上最小值是多少？


提示：因为x∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由正弦函数图象可知函数的最小值为－eq \f(\r(2),2).


2．函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？


提示：不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.


【例3】 (1)函数y＝cs2x＋2sin x－2，x∈R的值域为 ．


(2)已知函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋b(a＞0)．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为eq \r(3)，最小值是－2，求a和b的值．


[思路点拨] (1)先用平方关系转化，即cs2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．


(2)先由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))求2x－eq \f(π,3)的取值范围，再求的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．


(1)[－4,0] [y＝cs2x＋2sin x－2


＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.


因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cs2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]


(2)[解] ∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，


∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，


∴f(x)max＝a＋b＝eq \r(3)，


f(x)min＝－eq \f(\r(3),2)a＋b＝－2.


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\r(3)，,－\f(\r(3),2)a＋b＝－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2＋\r(3).))





1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．


[解] 因为y＝cs2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，


所以当sin x＝－1时，ymin＝－4，


此时x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z)))).


2．将本例(1)中函数改为y＝cs2x＋sin x，x∈R结果又如何？


[解] y＝cs2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).


因为－1≤sin x≤1，


所以－1≤y≤eq \f(5,4)，


所以函数y＝cs2x＋sin x，x∈R的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,4))).





三角函数最值问题的常见类型及求解方法：


1y＝asin2x＋bsin x＋ca≠0，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.


2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sinωx＋φ的范围，最后得最值.











1．理解2个知识点——三角函数的单调性、最值


(1)确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．


(2)函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形．


2．掌握3种方法


(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法


把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．


(2)比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．


(3)求三角函数值域或最值的常用方法：


将y表示成以sin x(或cs x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．


3．规避2个误区


(1)单调区间漏写k∈Z；(2)求值域时忽视sin x，cs x本身具有的范围限制．





1．y＝2cs x2的值域是( )


A．[－2,2] B．[0,2]


C．[－2,0] D．R


A [因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cs x2∈[－2,2]．]


2．下列函数中，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上恒正且是增函数的是( )


A．y＝sin x B．y＝cs x


C．y＝－sin x D．y＝－cs x


D [作出四个函数的图象，知y＝sin x，y＝cs x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，不符合；而y＝－sin x的图象虽满足在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D.]


3．若cs x＝m－1有意义，则m的取值范围是 ．


[0,2] [因为－1≤cs x≤1，要使cs x＝m－1有意义，


须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]


4．sineq \f(2π,7) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8)))(填“＞”或“＜”)．


＞ [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,8)))＝sineq \f(π,8)，


因为0＜eq \f(π,8)＜eq \f(2π,7)＜eq \f(π,2)，y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，所以sineq \f(π,8)＜sineq \f(2π,7)，即sineq \f(2π,7)＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8))).]


5．求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．


[解] 求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，


由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，


得eq \f(π,4)＋kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握y＝sin x，y＝cs x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)


2.掌握y＝sin x，y＝cs x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)


3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)
1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.


2.结合函数图象，培养直观想象素养.
解析式
y＝sin x
y＝cs x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)))＋2kπ，k∈Z上单调递增，


在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)))＋2kπ，k∈Z上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，


在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
正弦函数、余弦函数的单调性
利用三角函数的单调性比较大小
正弦函数、余弦函数的最值问题