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    人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案,共10页。

    5.4 三角函数的图象与性质


    5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象








    如图,将一个漏斗挂在架子上,做一个简易的单摆,在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.





    问题:通过上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?


    提示:正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线.





    1.正弦曲线


    正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.





    2.正弦函数图象的画法


    (1)几何法:


    ①利用单位圆画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;


    ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度).


    (2)五点法:


    ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),1)),(π,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),-1)),(2π,0),用光滑的曲线连接;


    ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度).


    3.余弦曲线


    余弦函数y=cs x,x∈R的图象叫余弦曲线.





    4.余弦函数图象的画法


    (1)要得到y=cs x的图象,只需把y=sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可.


    (2)用“五点法”画余弦曲线y=cs x在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),0)),(π,-1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),0)),(2π,1),再用光滑的曲线连接.


    思考:y=cs x(x∈R)的图象可由y=sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么?


    提示:因为cs x=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,2))),所以y=sin x(x∈R)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位可得y=cs x(x∈R)的图象.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)正弦函数y=sin x的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同.( )


    (2)正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称.( )


    (3)余弦函数y=cs x(x∈R)的图象关于原点成中心对称.( )


    [提示] 由y=sin x(x∈R)图象可知(1)正确,(2)错误;


    由y=cs x(x∈R)图象可知(3)错误.


    [答案] (1)√ (2)× (3)×


    2.函数y=cs x与函数y=-cs x的图象( )


    A.关于直线x=1对称 B.关于原点对称


    C.关于x轴对称 D.关于y轴对称


    C [由解析式可知y=cs x的图象过点(a,b),则y=-cs x的图象必过点(a,-b),由此推断两个函数的图象关于x轴对称.]


    3.请补充完整下面用“五点法”作出y=-sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表.


    ① ;② ;③ .


    π 0 1 [用“五点法”作y=-sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),-1)),(π,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),1)),(2π,0)故①为π,②为0,③为1.]


    4.函数y=cs x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-eq \f(1,2)的交点有 个.


    2 [由图象可知:函数y=cs x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-eq \f(1,2)有两个交点.]








    【例1】 (1)下列叙述正确的是( )


    ①y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称;


    ②y=cs x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称;


    ③正、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围.


    A.0 B.1个


    C.2个 D.3个


    (2)函数y=sin|x|的图象是( )





    (1)D (2)B [(1)分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cs x,x∈[0,2π]的图象,由图象(略)观察可知①②③均正确.


    (2)y=sin|x|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x,x≥0,,-sin x,x<0,))


    结合选项可知选B.]





    1.解决正、余弦函数的图象问题,关键是要正确的画出正、余弦曲线.


    2.正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.


    3.正、余弦曲线的对称性


    提醒:对称中心处函数值为0,对称轴处函数值为-1或1.





    eq \([跟进训练])


    1.关于三角函数的图象,有下列说法:


    ①y=sin x+1.1的图象与x轴有无限多个公共点;


    ②y=cs(-x)与y=cs |x|的图象相同;


    ③y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;


    ④y=cs x与y=cs(-x)的图象关于y轴对称.


    其中正确的序号是 .


    ②④ [对②,y=cs(-x)=cs x,y=cs |x|=cs x,故其图象相同;


    对④,y=cs(-x)=cs x,故其图象关于y轴对称;作图(略)可知①③均不正确.]





    【例2】 (教材P199例1改编)用“五点法”作出下列函数的简图.


    (1)y=1-sin x(0≤x≤2π);


    (2)y=-1+cs x(0≤x≤2π).


    [思路点拨] eq \x(列表:让x的值依次取0,\f(π,2),π,\f(3π,2),2π)→eq \x(描点)→eq \x(用平滑曲线连接)


    [解] (1)①取值列表如下:


    ②描点连线,如图所示.





    (2)①取值列表如下:


    ②描点连线,如图所示.








    用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acs x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤


    (1)列表:


    (2)描点:在平面直角坐标系中描出五个点(0,y1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),y2)),(π,y3),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),y4)),(2π,y5),这里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的.


    (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数y=Asin x+b(y=Acs x+b)(A≠0)的图象.


    提醒:作图象时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度.





    eq \([跟进训练])


    2.用“五点法”画出函数y=eq \f(1,2)+sin x,x∈[0,2π]的图象.


    [解] 取值列表如下:


    描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图)








    [探究问题]


    1.方程sin x=x的实根个数有多少个?


    提示:在同一坐标系内分别作出y=sin x,y=x图象(略)可知在x∈[0,1]内,sin x1时不会相交,所以方程只有一个实根为0.


    2.函数f(x)=eq \r(x)-cs x在[0,+∞)内有多少个零点?


    提示:令f(x)=0,所以eq \r(x)=cs x,分别作出y=eq \r(x),y=cs x的图象(略),可知两函数只有一个交点,所以f(x)在[0,+∞)内只有一个零点.


    【例3】 (1)函数y=eq \r(2sin x-1)的定义域为 .


    (2)在同一坐标系中,作函数y=sin x和y=lg x的图象,根据图象判断出方程sin x=lg x的解的个数.


    [思路点拨] (1)eq \x(列出不等式)→eq \x(画出函数图象)→eq \x(写出解集)


    (2)eq \x(画出y=sin x和y=lg x的图象)→eq \x(找准关键点10,1)





    (1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+2kπ≤x≤\f(5π,6)+2kπ,k∈Z)))) [由2sin x-1≥0得sin x≥eq \f(1,2),


    画出y=sin x的图象和直线y=eq \f(1,2).





    可知sin x≥eq \f(1,2)的解集为


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+2kπ≤x≤\f(5π,6)+2kπ,k∈Z)))).]


    (2)[解] 建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x∈R的图象.


    描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.





    由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.]





    1.本例(1)中的“sin x”改为“cs x”,应如何解答?


    [解] 由2cs x-1≥0得cs x≥eq \f(1,2),画出y=cs x的图象和直线y=eq \f(1,2).





    观察图象可知cs x≥eq \f(1,2)的解集是


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(π,3)≤x≤2kπ+\f(π,3),k∈Z)))).


    2.本例(1)中函数改为y=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x-\f(1,2)))+eq \r(\r(3)-2sin x),应如何解答?


    [解]要使原函数解析式有意义,


    必须满足eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2).


    首先作出y=sin x在[0,2π]上的图象,如图所示,





    作直线y=eq \f(1,2),根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6);


    作直线y=eq \f(\r(3),2),该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).


    观察图象可知,在[0,2π]上,当eq \f(π,6)<x≤eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)≤x<eq \f(5π,6)时,不等式eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)成立,


    所以eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)的解集为


    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+2kπ<x≤\f(π,3)+2kπ))))


    或eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)+2kπ≤x<\f(5π,6)+2kπ,k∈Z)))).





    1.用三角函数的图象解sin x>a(或cs x>a)的方法


    (1)作出y=a,y=sin x(或y=cs x)的图象.


    (2)确定sin x=a(或cs x=a)的x值.


    (3)确定sin x>a(或cs x>a)的解集.


    2.利用三角函数线解sin x>a(或cs x>a)的方法


    (1)找出使sin x=a(或cs x=a)的两个x值的终边所在的位置.


    (2)根据变化趋势,确定不等式的解集.











    1.掌握1种画法——五点法


    (1)作正、余弦函数的图象可以借助单位圆,用几何法作出,也可以用“五点法”作出简图.


    (2)“五点法”是一种作图思想或策略,它不只限于画正弦函数、余弦函数的简图,也可用于画复合型正、余弦函数的简图.


    2.掌握1种思想——数形结合


    由三角函数图象求三角不等式的解集,是另一种数形结合的思想方法,它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题.结合图象就可以写出其规律.


    3.规避1个易错


    利用“五点法”作图时,注意五点的正确选取.





    1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是( )





    B [y=sin(-x)=-sin x与y=sin x关于x轴对称.]


    2.函数y=sin x,x∈[0,π]的图象与直线y=0.99的交点有( )


    A.1个 B.2个


    C.3个 D.4个


    B [观察图象(略)易知:有两个交点.]


    3.要得到y=cs x,x∈[-2π,0]的图象,只需将y=cs x,x∈[0,2π]的图象向 平移 个单位长度.


    左 2π [向左平移2π个单位长度即可.]


    4.不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x<0,,\f(π,2)≤x≤5))的解集是 .


    (π,5] [当eq \f(π,2)≤x≤π时,0≤sin x≤1,当π<x≤5时,sin x<0,所以原不等式的解集为(π,5].]


    5.用“五点法”画出y=-2cs x+3(0≤x≤2π)的简图.


    [解] 列表:


    描点、连线得出函数y=-2cs x+3(0≤x≤2π)的图象:





    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤,掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.(重点)


    2.正、余弦函数图象的简单应用.(难点)


    3.正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点)
    1. 通过做正弦、余弦函数的图象,培养直观想象素养.


    2.借助图象的综合应用,提升数学运算素养.
    x
    0
    eq \f(π,2)

    eq \f(3π,2)

    -sin x

    -1
    0

    0
    正弦函数、余弦函数图象的初步认识
    对称中心
    对称轴
    y=sin x(x∈R)
    (kπ,0),k∈Z
    x=kπ+eq \f(π,2),k∈Z
    y=cs x(x∈R)
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ+\f(π,2),0)),k∈Z
    x=kπ,k∈Z
    用“五点法”作三角函数的图象
    x
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    sin x
    0
    1
    0
    -1
    0
    1-sin x
    1
    0
    1
    2
    1
    x
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    cs x
    1
    0
    -1
    0
    1
    -1+cs x
    0
    -1
    -2
    -1
    0
    x
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    sin x


    (或cs x)
    0(或1)
    1(或0)
    0(或-1)
    -1


    (或0)
    0(或1)
    y
    b


    (或A+b)
    A+b


    (或b)
    b


    (或-A+b)
    -A+b


    (或b)
    b


    (或A+b)
    x
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    sin x
    0
    1
    0
    -1
    0
    eq \f(1,2)+sin x
    eq \f(1,2)
    eq \f(3,2)
    eq \f(1,2)
    -eq \f(1,2)
    eq \f(1,2)
    正弦(余弦)函数图象的应用
    x
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    -2cs x
    -2
    0
    2
    0
    -2
    -2cs x+3
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          新人教A版必修第一册学案:第5章+5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(含解析)

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