数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质图文课件ppt

课题名

5.4.3 正切函数的性质与图象

教学目标

1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性；

2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象；

3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

教学重点

正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性

教学难点

能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

,中午的气温较早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题.

想一想：研究太阳光和地面的角度问题常常用到哪个函数的性质与图象呢?

提示：正切函数.

二、讲授新课

正切函数的图象与性质：

【辩1辩】

1．正切函数的定义域和值域都是R.(　×　)

2．正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　√　)

3．正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　×　)

4．正切函数是增函数．(　×　)

【设计意图】通过探究让学生理解正切函数的图象与性质，提高学生分析问题的能力。

1.正切函数的周期性

例1.求下列函数的周期

(1)y＝2tan(2x＋)；

(2)y＝3tan(x－)．

【解析】

(1)∵T＝，ω＝2，∴T＝.∴y＝2tan(2x＋)的周期为.

(2)∵T＝，ω＝，∴T＝2π.∴y＝3tan(x－)的周期为2π.

【类题通法】求函数最小正周期的方法

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝

(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．

【巩固练习1】求下列函数的最小正周期：

(1)y＝tan(－x)；

(2)y＝tan(3x＋)．

【解析】　(1) ，∴y＝tan(－x)的最小正周期为2π.

(2)∴y＝tan(3x＋)的最小正周期是.

2.正切函数的奇偶性

例2. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|；

(2)f(x)＝x2tanx－sin2x.

【解析】

　(1)因为该函数的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．

(2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

【类题通法】判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;

(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.

（3）若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．

【巩固练习2】判断下列函数的奇偶性：

(1)y＝tanx(－≤x<)；

(2)y＝xtan2x＋x4；

(3)y＝sinx＋tanx.

【解析】　

(1)∵定义域[－，)不关于原点对称，∴它既不是奇函数也不是偶函数．

(2)定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，关于原点对称，∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它是偶函数．

(3)定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．

3.正切函数的定义域、单调区间

例3.求函数y＝tan的定义域，并指出它的单调性．

【解析】　要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，∴函数的定义域为.令kπ－<3x－<kπ＋(k∈Z)，即－<x<＋(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，不存在单调递减区间．

【变式 】求函数y＝tan的单调区间。

【解析】y＝tan(−3x−)＝－tan(3x+)，由kπ－<3x+<kπ＋(k∈Z)，得 - <x<＋，k∈Z.∴函数y＝tan(−3x− )的单调递减区间是( -   , ＋)，k∈Z,无单调递增区间.

【类题通法】1.求正切函数定义域的方法

求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.

求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.

2.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，求得x的范围即可．

(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

【巩固练习3】求函数y＝3tan的定义域，并指出它的单调性。

y＝3tan(－)＝－3tan(－)，

[解]

要使函数有意义，自变量x的取值应满足－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠ (k∈Z)，函数的定义域为.由kπ－<－<kπ＋，k∈Z，得4kπ－<x<4kπ＋，k∈Z.∴y＝3tan(－)的单调递减区间为(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z.不存在增区间．

三、课堂小结

四、达标检测

1．y＝tan(x＋π)是(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

2．y＝4tan的最小正周期为(　　)

A.　　　　　B.　　　　C.　　　　D.

3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.

4．函数y＝tan （-x）的单调递减区间是________．

答案：1.A  2.B 3.：　 4.(k∈Z)

布置作业

完成对应的课后练习

板书设计

教学反思

学生基本上都能掌握本节课内容，不过学生对于正切函数的定义域和图像这一块还需要加强。