人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时导学案及答案，共10页。

第2课时 公式五和公式六








观察单位圆，回答下列问题：


问题：(1)角α与角eq \f(π,2)－α，角α与eq \f(π,2)＋α的终边有什么关系？


(2)角α与角eq \f(π,2)－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角eq \f(π,2)＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？


提示：(1)角α与角eq \f(π,2)－α的终边关于直线y＝x对称，角α的终边关于直线y＝x的对称直线与角eq \f(π,2)＋α的终边关于y轴对称．


(2)角α与角eq \f(π,2)－α的终边与单位圆的交点P，P1关于直线y＝x对称；角eq \f(π,2)＋α的终边与单位圆的交点P2的横坐标等于角α与单位圆的交点P的纵坐标的相反数；角eq \f(π,2)＋α的终边与单位圆的交点P2的纵坐标等于角α与单位圆的交点P的横坐标．





1．公式五(1)角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．





(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.


2．公式六


(1)公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).


(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.


思考：如何由公式四及公式五推导公式六？


提示：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α.


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．( )


(2)在△ABC中，sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2).( )


(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－－α))＝cs(－α)＝cs α.( )


[提示] (1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．


(2)正确．因为eq \f(A＋B,2)＋eq \f(C,2)＝eq \f(π,2)，由公式五可知sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2).


(3)正确．


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．下列与sin θ的值相等的是( )


A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))


C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))


C [sin(π＋θ)＝－sin θ；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝－sin θ.]


3．已知sin 19°55′＝m，则cs(－70°5′)＝ .


m [cs(－70°5′)＝cs 70°5′＝cs(90°－19°55′)


＝sin 19°55′＝m.]


4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)π＋α))＝eq \f(3,5)，那么cs α＝ .


－eq \f(3,5) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)π＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π－\f(π,2)＋α))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋α))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))


＝－cs α＝eq \f(3,5)，


∴cs α＝－eq \f(3,5).]








【例1】 (1)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )


A.eq \f(1－m2,m) B．eq \r(1－m2)


C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)


(2)(教材P193例5改编)已知sin(53°－α)＝eq \f(1,5)，且－270°＜α＜－90°，则sin(37°＋α)的值为 ．


[思路点拨] (1)


(2)eq \x(53°－α＋37°＋α＝90°)→eq \x(选择公式化简求值)


(1)B (2)－eq \f(2\r(6),5) [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)


＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)


＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°


＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).


(2)设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β.于是，sin γ＝sin(90°－β)＝cs β.


因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°.


由sin β＝eq \f(1,5)＞0，得143°＜β＜180°.


所以cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5)，


所以sin(37°＋α)＝sin γ＝－eq \f(2\r(6),5).]





解决化简求值问题的策略：


1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.


2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.


提醒：常见的互余关系有：－α等；,常见的互补关系有：－θ等





eq \([跟进训练])


1．(1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为 ．


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))的值为 ．


(1)eq \f(1,2) (2)－eq \f(1,2) [(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(1,2).]





【例2】 (1)求证：


eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).


(2)求证：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ.


[证明] (1)右边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·－sin θ－1,1－2sin2θ)


＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)


＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)


＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ2,sin2θ－cs2θ)


＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝左边，所以原等式成立．


(2)左边＝eq \f(cs θsin－θtan－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))


＝eq \f(cs θsin θtan θ,－sin θcs θ)＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．





三角恒等式的证明的策略


1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.


2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.





eq \([跟进训练])


2．求证：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.


[证明] 因为eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)


＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)－2π))tan－x)


＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)),－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))tan x)＝eq \f(－sin x,cs xtan x)＝－1


＝右边，所以原等式成立．





[探究问题]


1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？


提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．


2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？


提示：“奇变偶不变、符号看象限”．


【例3】 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．


[思路点拨] eq \x(解方程并根据sin α的取值范围确定sin α的值)→→eq \x(用诱导公式化简)→eq \x(求值)


[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－eq \f(3,5).


又α是第三象限角，


所以cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)，


所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)


＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α


＝eq \f(cs α－sin α,sin αcs α)·tan2α


＝－tan2α＝－eq \f(9,16).





诱导公式综合应用要“三看”


一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.


二看函数名称：一般是弦切互化.


三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.





eq \([跟进训练])


3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，求sin α与cs α的值．


[解] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))＝－cs α，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))


＝－sin α，


∴sin α·cs α＝eq \f(60,169)，即2sin α·cs α＝eq \f(120,169).①


又∵sin2α＋cs2α＝1，②


①＋②得(sin α＋cs α)2＝eq \f(289,169)，


②－①得(sin α－cs α)2＝eq \f(49,169).


又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，


∴sin α＞cs α＞0，即sin α＋cs α＞0，sin α－cs α＞0，


∴sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，③


sin α－cs α＝eq \f(7,13)，④


(③＋④)÷2得sin α＝eq \f(12,13)，(③－④)÷2得cs α＝eq \f(5,13).








1．会用2组公式——公式五、六


(1)公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角eq \f(π,2)－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．


(2)由于eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，因此由公式四及公式五可以得到公式六．


2．掌握1个技巧


利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．


3．规避2个易错


(1)函数符号的变化；(2)角与角之间的联系与构造．





1．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )


A．第一象限角 B．第二象限角


C．第三角限角 D．第四象限角


B [由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]


2．计算：sin211°＋sin279°＝ .


1 [因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cs 11°，


所以原式＝sin211°＋cs211°＝1.]


3．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝ .


－cs α [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋α))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－cs α.]


4．已知cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝ .


eq \f(2\r(6),5) [因为cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，


所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(6),5).]


5．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋α)－eq \f(sin2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sinπ－α).


[解] 原式＝eq \f(cs α－sin α,－cs α)－eq \f(sin－αsin α,sin α)


＝sin α－(－sin α)＝2sin α.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式五和公式六的推导方法．


2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)


3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．


2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
利用诱导公式化简求值
利用诱导公式证明恒等式
诱导公式的综合应用