高中数学第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第1课时导学案

这是一份高中数学第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第1课时导学案，共9页。

3.2.2 奇偶性


第1课时 奇偶性的概念








在我们日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，水中的倒影，……，再观察一下函数f(x)＝x2和f(x)＝eq \f(1,x)的图象，我们发现，函数f(x)＝x2的图象关于y轴对称，而函数f(x)＝eq \f(1,x)的图象关于原点对称．





问题：如何用数量关系来刻画函数图象的这种对称性呢？


提示：若函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于y轴对称；


若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于原点对称．





函数的奇偶性


思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？


提示：定义域关于原点对称．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )


(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )


(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )


(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×


2．下列函数是偶函数的是( )


A．y＝x


B．y＝2x2－3


C．y＝eq \f(1,\r(x))


D．y＝x2，x∈[0,1]


B [选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.]


3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )





A B C D


B [B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]


4．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )


A．－1 B．0


C．1 D．无法确定


C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]





【例1】 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；


(3)f(x)＝x＋eq \f(1,x)；(4)f(x)＝eq \f(1,x2).


[解] (1)函数f(x)＝x4的定义域为R.


因为∀x∈R，都有－x∈R，且


f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，


所以，函数f(x)＝x4为偶函数．


(2)函数f(x)＝x5的定义域为R.


因为∀x∈R，都有－x∈R，且


f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，


所以，函数f(x)＝x5为奇函数．


(3)函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0}．


因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且


f(－x)＝－x＋eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，


所以，函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)为奇函数．


(4)函数f(x)＝eq \f(1,x2)的定义域为{x|x≠0}．


因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且


f(－x)＝eq \f(1,－x2)＝eq \f(1,x2)＝f(x)，


所以，函数f(x)＝eq \f(1,x2)为偶函数．





判断函数奇偶性的两种方法


(1)定义法：





(2)图象法：








eq \([跟进训练])


1．判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝x3＋x；


(2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；


(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)；


(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))


[解] (1)函数的定义域为R，关于原点对称．


又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，


因此函数f(x)是奇函数．


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1.


因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．


又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．


(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，


不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．


(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．


f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，))


即f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.))


于是有f(－x)＝－f(x)．


所以f(x)为奇函数．





【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．





(1)画出在区间[－5,0]上的图象；


(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．


[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．


由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．





(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．





(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．


[解] (1)如图所示：





(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．





巧用奇、偶函数的图象求解问题


1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.


2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.





eq \([跟进训练])


2．如图是函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．





[解] 因为f(x)＝eq \f(1,x2＋1)，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝eq \f(1,－x2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．








[探究问题]


1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？


提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，


∴f(x)为奇函数．


由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，


∴f(x)为偶函数．


2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？


提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．


【例3】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；


(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.


[思路点拨] (1)eq \x(fx是偶函数)eq \(―――――→,\s\up7(定义域关于),\s\d7(原点对称))eq \x(求a的值)eq \(――――→,\s\up7(图象关于),\s\d7(y轴对称))eq \x(求b的值)





(1)eq \f(1,3) 0 (2)7 [(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3).


又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.


(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，


∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，


∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]





利用奇偶性求参数的常见类型及策略


1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.


2解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数即可求解.





eq \([跟进训练])


3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.


4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.


法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.]








1．理解1个概念——函数的奇偶性


(1)定义域特点：关于原点对称；


(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；


(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.


2．掌握2种方法——判断函数奇偶性的方法


(1)定义法；(2)图象法．


3．规避1个误区


忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性．





1．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )


A．－2 B．2


C．0 D．不能确定


B [因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.]


2．函数f(x)＝|x|＋1是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数


B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，


∴f(x)为偶函数．]


3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.


0 [∵f(x)为奇函数，


∴f(－x)＋f(x)＝0，


∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，


所以a＝0.]


4．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)


①f(x)＝x3；②f(x)＝eq \f(1,x2)；③f(x)＝x＋eq \f(1,x)；④f(x)＝x2，x∈[－1,2]．


② [对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；


对于②，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝eq \f(1,－x2)＝eq \f(1,x2)＝f(x)，则为偶函数；


对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－f(x)，则为奇函数；


对于④，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]


5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．





(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；


(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；


(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．


[解] (1)由题意作出函数图象如图：





(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．


(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解奇函数、偶函数的定义．


2．了解奇函数、偶函数图象的特征．


3．掌握判断函数奇偶性的方法.
1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．


2．借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养．
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称
函数奇偶性的判断
奇偶函数的图象问题
利用函数的奇偶性求值