高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时导学案，共7页。

第2课时 奇偶性的应用








【例1】 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；


(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．


[思路点拨] (1)eq \x(设x<0，则－x>0)eq \(――――――→,\s\up7(当x>0),\s\d5(fx＝－x＋1))


eq \x(求f－x)eq \(――――→,\s\up7(奇函数))eq \x(得x<0时fx的解析式)eq \(――――→,\s\up7(奇函数),\s\d7(的性质))eq \x(f0＝0)eq \(――――→,\s\up7(分段函数))eq \x(fx的解析式)


(2)eq \x(fx＋gx＝\f(1,x－1))eq \(――――――→,\s\up7(用－x代式中x))


eq \x(得f－x＋g－x＝\f(1,－x－1))eq \(―――→,\s\up7(奇偶性))


eq \x(得fx－gx＝－\f(1,x＋1))eq \(―――→,\s\up7(解方程组))


[解] (1)设x<0，则－x>0，


∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，


又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，


∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，


∴当x<0时，f(x)＝－x－1.


又x＝0时，f(0)＝0，


所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))


(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，


∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．


由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，①


用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，


∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，②


(①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)；


(①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1).





把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．


[解] ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，


∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，


又f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，①


用－x代替上式中的x，得


f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，


即f(x)－g(x)＝eq \f(1,x＋1).②


联立①②得


f(x)＝eq \f(x,x2－1)，g(x)＝eq \f(1,x2－1).





利用函数奇偶性求解析式的方法


1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.


2要利用已知区间的解析式进行代入.


3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.


提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.








[探究问题]


1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？


如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？


提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．


2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？


提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．


3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？


提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.


角度一 比较大小问题


【例2】 函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )


A．f(1)

C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))

[思路点拨] eq \x(y＝fx＋2是偶函数)―→


eq \x(fx的图象关于x＝2对称)eq \(―――→,\s\up7([0，2]上),\s\d7(递增))eq \x(比较大小)


B [∵函数f(x＋2)是偶函数，


∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，又f(x)在[0,2]上单调递增，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))




比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.


1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；


2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.





eq \([跟进训练])


1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )


A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)


C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)


A [由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]


角度二 解不等式问题


【例3】 已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)

[解] 因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．


又f(1－m)m，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2).))解得－1≤m

故实数m的取值范围是－1≤m




解有关奇函数fx的不等式fa＋fb<0，先将fa＋fb<0变形为fa<－fb＝f－b，再利用fx的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.


由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质fx＝f|x|＝f－|x|将fgx中的gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.





eq \([跟进训练])


2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)

A．a>1 B．a<－2


C．a>1或a<－2 D．－1

C [因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C.]








1．记牢2个知识点


(1)利用奇偶性，求函数的解析式．


(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．


2．理解2个特点


具有奇偶性的函数的单调性的特点


(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．


(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．


3．掌握1种方法——数形结合


利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．


4．规避2个误区


(1)利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．


(2)解不等式易忽视函数的定义域．





1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )


A．y＝x3 B．y＝|x|＋1


C．y＝－x2＋1 D．y＝－eq \f(2,x)


B [对于函数y＝|x|＋1，


f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，


所以y＝|x|＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，


所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；


y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－eq \f(2,x)不是偶函数．故选B.]


2．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是( )


A．增函数且最小值为3


B．增函数且最大值为3


C．减函数且最小值为－3


D．减函数且最大值为－3


D [当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．]


3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)＜0的解集为( )


A．(－1,0)∪(1，＋∞)


B．(－∞，－1)∪(0,1)


C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)


D．(－1,0)∪(0,1)


C [因为f(x)为奇函数，eq \f(fx－f－x,x)＜0，


即eq \f(2fx,x)＜0，


因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，


所以当x＞1时，f(x)＜0.


因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x＜－1时，f(x)＞0.


综上使eq \f(fx－f－x,)x＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]


4．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)

A．ab


C．|a|<|b| D．0≤ab≥0


C [∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，


∴由f(a)

5．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．


[解] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.


即f(x)＝x2－2，g(x)＝x


学 习 目 标
核 心 素 养
1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．


2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.
1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．


2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.
用奇偶性求解析式
函数单调性和奇偶性的综合问题