人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第1课时导学案，共7页。

1.3 集合的基本运算


第1课时 并集与交集








某班有学生20人，他们的学号分别是1,2,3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.


问题：(1)问至少读过一本书的有哪些同学？


(2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？


提示：(1)至少读过一本书的有学号为2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20的同学．


(2)同时读了a，b两本书的有学号为6,12,18的同学．





1．并集





思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？


(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？


提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．





(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．


2．交集





3．并集与交集的运算性质





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和．( )


(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集. ( )


(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C.( )


(4)A∩B⊆A∪B.( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√


2．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝________，A∪B＝________.


{5,8} {3,4,5,6,7,8} [∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，


∴A∩B＝{5,8}，A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．]


3．若集合A＝{x|－32}，则A∪B＝________，A∩B＝________.


{x|x>－3} {x|2＜x＜4} [如图故A∪B＝{x|x>－3}，A∩B＝{x|2＜x＜4}．]





4．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．


{2}或{1,2} [∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能为{2}或{1,2}．]








【例1】 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )


A．{0} B．{0,2}


C．{－2,0} D．{－2,0,2}


(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )


A．{x|x<－5或x>－3}


B．{x|－5

C．{x|－3

D．{x|x<－3或x>5}


(1)D (2)A [M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.


(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．


]





求集合并集的2种基本方法


1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；


2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.





eq \([跟进训练])


1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5} ，则A∪B＝________.


{0,1,2,3,4,5} [A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]





【例2】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )


A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}


C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}


(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．


(1)A (2)2 [(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，





故A∩B＝{x|0≤x≤2}．


(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，


∴8∈A,14∈A，


∴A∩B＝{8,14}，故A∩B中有2个元素．]





1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：


(1)定义法；(2)数形结合法．


2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．





eq \([跟进训练])


2．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )


A．{0,2} B．{1,2}


C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}


A [由题意知A∩B＝{0,2}．]


3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12


C．a≥－1 D．a>－1


D [因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]








[探究问题]


1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？


提示：A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.


2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？


提示：若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.


【例3】 已知集合A＝{x|－3

[思路点拨] eq \x(A∪B＝A)eq \(――――→,\s\up7(等价转化))eq \x(B⊆A)eq \(――――――――→,\s\up7(分B＝∅和B≠∅))


eq \x(建立k的不等关系)eq \(―――→,\s\up7(求交集))eq \x(得k的范围)


[解] (1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.


(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，


只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

综合(1)(2)可知k≤eq \f(5,2).





1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．


[解] 由A∩B＝A可知A⊆B.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，,2k－1≥k+1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，,k≥2，))所以k∈∅.


所以k的取值范围为∅.


2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3

[解] 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

解得k＝3.


所以k的值为3.








1．理解2个概念——并集、交集


(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．


(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.


2．规避2个易错点——交、并运算中的注意事项


(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．


(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．





1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于( )


A．{1,2,3} B．{1,2,4}


C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}


D [因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，


所以A∩B＝{1,2}．


又C＝{2,3,4}，


所以(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．]


2．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝( )


A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x＜4}


C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x＜4}


B [因为集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∩B＝{x|－2≤x＜4}．]


3．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )





A．{0,1} B．{0}


C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}


D [由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]


4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝________.


{2} [∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．]


5．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．


(1)求a，b的值及A，B；


(2)求(A∪B)∩C.


[解] (1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，


∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．


(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)


2．能使用Venn图表达集合间的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)
1.借助Venn图培养直观想象素养．


2．通过集合并集、交集的运算提升数学运算素养.
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪∅＝A
A∩∅＝∅
并集概念及其应用
交集概念及其应用
集合交、并运算的性质及综合应用