人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

5.4.1正弦函数、余弦函数的图像

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质

知识点1：正弦函数与余弦函数的图像

1.正弦函数的图象

（1）函数的图象

根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到的图象，如图所示.

由诱导公式一可知，函数的图像与的图象形状完全一致.因此将函数的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就就可以得到正弦函数，的图像.

（2）五点法

观察下图，在函数的图象上，以下五个点

在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的的简图.这种作图方法叫做“五点（画图）法”

2. 余弦函数的图象

（1）图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数的图象可以通过正弦函数，的图像.向左平移个单位长度而得到，所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象.

（2）五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作作法，从余弦函数的图象可以看出，要作出函数在上的图象，起关键作用的五个点是：

先描出这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数在上的简图，再通过左右平移（每次移动个单位长度）即可得到余弦函数，的图象.

3.正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦函数和余弦曲线.

它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

例1-1：（1）作出函数的简图；

（2）作出函数的简图.

答案：（1）

（2）

例1-2：作出函数的简图.

答案：

知识点2：正弦函数、余弦函数的性质

1.周期函数

（1）定义：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期函数.

（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正数就叫做的最小正周期.

2.正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数与余弦函数的图像与性质如下表：

例2-3：若函数和在区间D上都是增函数，则区间D可以是（   ）

A.            B.           C.          D.

 答案:D

例2-4：设，，，则（   ）

A.          B.         C.        D.

答案：A

例2-5：求下列函数的定义域和值域：

（1）；     （2）；      （3）.

答案：（1）[1,3];    （2）；    （3）.

重难拓展

知识点3：函数周期性的探究

1.对周期函数定义的理解

在已知函数是周期函数的前提下，对于一个非零常数为函数的周期的反面理解是只要定义域中有一个值，使得，则就不是的周期.例如，对于，我们在得到它是以为周期的周期函数后，一个自然的问题是：还有没有其他的数是正弦函数的周期？例如是不是它的周期？可以得到，虽然对于常数，对自变量取时都有，但并非“每一个值”都成立，如自变量取时就有，因此不是正弦函数的周期.

2.周期函数定义的几点说明

（1）周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的.如果只有个别的满足，那么是不能成为的周期的.

（2）从等式来看，自变量本身所加的非零常数才是周期，如，不是周期，而应写成，即2是的周期.

（3）不是所有的函数都是周期函数，如就不是周期函数.

（4）周期函数的周期不唯一，如果是函数的周期，那么也是函数的周期.

（5）设周期为的函数的定义域为，若，则必有.因此周期函数的定义域一定既无上界也无下界.

（6）函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的整体性质，就可以知道它的整体性质.

3.对最小正周期概念的理解

（1）不是所有的周期函数都存在最下正周期的.

例如，常数函数，所有非零常数都是它的周期，显然在非零实数组成的集合中，不存在最小的正数，所以常数函数不存在最小正周期.

又如函数

任何一个非零有理数都是它的周期，但没有最小正周期.

（2）说明某正数是函数的最小正周期，只需说明比该周期小的任意正数都不是该函数的周期即可.

（3）若无特别说明，本书中所说的周期一般都是最小正周期.

4.一类周期函数的周期公式

（1）一般地，函数的最小正周期

（2）若函数的周期是，则函数的周期为,

5.抽象函数的周期性

（1）若函数满足，则函数是周期函数，为它的一个周期.

（2）若函数，满足，则函数是周期函数，为它的一个周期.若，则的一个周期为.

（3）若函数和的图象有两条对称轴，则函数是周期函数，为它的一个周期.

（4）若函数的图象存在对称中心A，B，则函数为周期函数，且为它的一个周期.

（5）若函数的图象存在对称轴，对称中心B，，则函数为周期函数，且为它的一个周期.

（6）若，则为函数的一个周期.

例3-6：求下列函数的最小正周期：

（1）           （2）.

答案：（1）         （2）.

例3-7：干支纪年法（农历）是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期.周而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫做天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫做地支，受此周期规律的启发，可以求得函数的最小正周期为（    ）

A.               B.           C.              D.

答案：C

例3-8：若对于任意实数x，都有，（常数为正整数），则是否为周期函数？若为周期函数，求它的一个周期；若不是周期；若不是周期函数，说明理由.

答案：由①，

得②，

由①+②得，

所以

所以

故函数为周期函数，周期为.

例3-9：（多选题）定义表示不超过的最大整数，例如，，若，则下列结论中正确的是（   ）

A.是奇函数

B.是周期函数，周期为1

C.的最小值为0，无最大值

D.无最小值，最大值为

答案：BC

知识点4：正弦型函数及余弦函数的性质

1.函数正弦型函数及余弦函数的性质

2.三角函数的最值与单调性、奇偶性、周期性的联系

（1）三角函数的最值与单调性之间的联系

相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值对应的与最小值对应的之间构成的区间为减区间，第一个最小值对应的与第二个最大值对应的所构成的区间，从而三角函数的单调递减区间为，单调递增区间为，单调递增区间为.

当然也可以从右至左来看，最大值对应的自变量的值向左半个周期所对应的区间为增区间，此时三角函数的单调递增区间为，单调递减区间为

函数的最小值的相应情况可类似讨论.

（2）三角函数的最值与奇偶性之间的联系

三角函数为偶函数当且取得最值.

三角函数为奇函数当且仅当.

（3）三角函数的最值与周期性之间的联系

由三角函数的图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻的图象最高（低）点与图象与轴的交点之间的区间长度为

例4-10：（多选题）关于函数，下列命题正确的是（   ）

A.若，是的整数倍

B.原函数等价于

C.的图象关于点对称

D.的图象关于直线对称

答案：BD

例4-11若函数是R上的偶函数，则等于（    ）

1. 0           B.            C.             D.

答案：C

例4-12：若是函数（）的两个相邻的零点，则（   ）.

1. 2           B.           C. 1             D.

答案：A

题型与方法

题型1：正、余弦函数图象的应用

1.函数图形的识别问题

例13.函数在上的图象大致为（   ）

答案：B

例14：（多选题）已知函数的部分图象如图所示，将此图象作以下变化后的图象可以与原来图象重合的变换方法是（   ）

1. 若着轴上一点旋转180°
2. 沿轴正方向平移
3. 以轴为轴作对称
4. 以轴的某一条垂线为轴作轴对称.

答案：BD

变式训练1：

1.函数的大致图象为（    ）

答案：D

2.解三角不等式

例15：不等式的解集为               .

答案：

3.利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题

例16：已知函数，若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（    ）

A.（0,）         B. （）          C.（）       D.（）

答案：A

变式训练2：若集合，=         .

答案：

变式训练3：方程的实数解的个数为       .

答案：2

题型2：值域与最值问题

1.利用三角函数的有界性和单调性求值域（或最值）

例17：求下列函数的值域；

（1）

（2）

答案：（1）     （2）

2.化为型函数求值域（或最值）

例18：求使下列函数取得最大值和最小值时的的值，并求出函数的最大值和最小值：

（1）

（2）

答案：（1）    （2）   

3.分离常量求值域（或最值）

例19：求函数的值域.

答案：

变式训练4：求下列函数的值域：

（1）              （2）

答案：（1）；           （2）

题型3：单调性问题

1.求正、余弦型函数单调递减区间

（母题）例20：函数的单调递增区间为          .

答案：

子题1：函数的单调减区间为           .

答案：

子题2：函数的单调递增区间为           .

答案：

例21：已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（    ）

A.           B.            C.           D.

答案：C

变式训练5：函数的单调递增区间是（   ）

A.       B.         C.          D.

答案：D

变式训练6：当时，函数取得最大值，则的一个单调减区间是（    ）.

A.         B.         C.           D.

答案：B

2.比较大小

例22：比较下列各组数的大小

（1）；

（2）

（3）

答案：（1）＞      （2）＞      （3）＜

题型4：奇偶性与对称性问题

1.由函数奇偶性确定参数的值

例23：已知函数是奇函数，则的值可以是（    ）

1. 0           B.            C.            D.      

答案：B

2.三角函数图象的对称性

例24：如果函数的图象关于点中心对称，那么||的最小值为     .

答案：

例25：已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（   ）

1. 2          B. 4            C.6          D.8

答案：A

变式训练7：已知函数在处取得最大值，则函数的图象（   ）

A.关于点对称             B.关于点对称 

C.关于直线对称            D.关于直线对称  

答案：A

题型5：函数的周期性

例26：求下列函数的最小正周期.

（1）；

（2）

答案：（1）；（2）.

例27：已知函数，若函数图象的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为        .

答案：

变式训练8.已知的图象在[0,1]上有10个最高点，则的取值范围为（   ）

A.           B.       C.        D.

答案：A

题型6：函数性质的综合应用

例28：已知函数（其中为常数）.

（1）求的单调区间；

（2）当时，的最大值为4，求的值；

（3）求使取最大值时的取值集合.

答案：（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）最大  （3）.

易错提醒

易错1：忽略有界性

例29:求函数的最大值.

答案：若时，最大值为；

若时，最大值为；

若时，最大值为.

易错2：忽略定义域

例30：函数的单调增区间为            .

答案：

高考链接

考向1：正弦、余弦函数的图象

例31：函数在上的图象大致为（    ）

答案：D

考向2：正、余弦函数的单调性

例32：已知函数，则的单调递增区间为         .

答案：

考向3：正余弦函数的最值

例33：设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为            .

答案：

例34：函数的最大值是         .

答案：1

考向4：正、余弦函数的周期性与对称性

例35：函数的最小正周期为（   ）

A.            B.           C.             D.

答案：C

变式探源1：逆向问题——由一条对称轴方程确定参数值

1.已知函数的图象关于直线对称，则的值是       .

答案：

变式探源2：逆向问题——由两条对称轴的方程确定的值

2.若直线是函数图象的两条相邻的对称轴，则       .

A. 2            B.           C. 1             D.

答案：A

考向5：正、余弦函数的综合问题

例37：关于函数有下列四个结论：

①是偶函数；

②在区间上单调递增；

③在上有4个零点；

④的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A.①②④           B.②④             C.①④            D.①③

答案：C

基础巩固

1.函数的最小正周期为（    ）

A.            B.           C.             D.

2.下列函数的图象中，关于直线对称的是（    ）

A.        B.       C.     D.

3.若函数，则不等式的解集为（   ）

A.       B.     C.      D.

4.在内，使成立的的取值范围是（    ）

A.       B.       C.        D.

5.方程的实数根有（    ）

A. 1个         B. 2个           C. 3个            D. 无穷多个

6.已知函数，则（    ）

A.的最小值为-1         B.点是的图象的一个对称中心

C.的最小正周期为     D.在上单调递增

能力提升

7.函数在区间[0,]上的最小值为（    ）

A.-1           B.              C.             D. 0

8.设，则下列结论错误的是（   ）

A.的一个周期为            B.的图象关于直线对称

C.的一个零点为         D.在上单调递减

9.已知奇函数满足，则的取值可能是（    ）

A. 4           B. 6              C.8             D. 12

10.函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和等于（    ）

A. 4           B. 6              C.8             D. 12

11.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（    ）

A.             B.             C.             D.

12.已知函数（A，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（   ）

A.            B.

C.            D.

13.函数满足，且在区间上，，则的值为         .

14.若函数在区间[0,1]上出现了50次最小值，则的取值范围是       .

15.设定义域为R的奇函数为减函数，恒成立，则实数的取值范围是           .

16.已知函数.若存在满足，且，则的最小值为      .

参考答案

1. D
2. D
3. D
4. C
5. C
6. ACD
7. B
8. D
9. B
10. D
11. B
12. A
16. 8