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所属成套资源：人教B版（2019）高中数学必修第三册导学案
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（新）人教B版(2019)必修第三册学案：模块复习课（含解析）
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这是一份人教B版 (2019)必修 第三册全册综合优秀学案，共11页。学案主要包含了弧度制与任意角的三角函数，三角函数的图像与性质，平面向量的数量积，向量的运算律与坐标运算，三角恒等变换等内容，欢迎下载使用。
一、弧度制与任意角的三角函数
1.角的概念经过推广以后，包括正角、负角、零角．
2.按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角(又叫象限界角)．
3.与角α终边相同的角可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
4．角度制与弧度制的换算关系是180°＝π.
5．扇形弧长公式是l＝αr，扇形面积公式是S＝eq \f(1,2)lr.
6．三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦．
7．同角三角函数的基本关系式是sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α).
8．三角函数的诱导公式都可表示为eq \f(kπ,2)±α，k∈Z的形式，可简记为奇变偶不变，符号看象限．
二、三角函数的图像与性质
1.正弦函数
(1)定义域R，值域[－1,1]，最小正周期2π.
(2)单调增区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))k∈Z；
单调减区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))k∈Z.
2.余弦函数
单调增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；
单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
3.正切函数
(1)定义域：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
(2)单调增区间：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.
4．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，应明确A，ω决定“形变”，φ，k决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
5．由已知函数图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图像求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．
三、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cs 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cs 〈a，b〉．
(1)当〈a，b〉∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))时，a·b＞0; 当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a·b＝0；当〈a，b〉∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，a·b<0.
(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：
3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)设非零向量b所在的直线为l，向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．
(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cs 〈a，b〉为向量a在b上的投影的数量．
(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
四、向量的运算律与坐标运算
1.向量的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a，
a·b＝b·a .
(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，
a－b－c＝a－(b＋c)．
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) .
(3)分配律
(λ＋u)a＝λa＋ua，
λ(a＋b)＝λa＋λb，
(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2.向量的坐标运算
已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2，
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))，a2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 .
五、三角恒等变换
1.和角公式
(1)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β .
(2)sin(α±β)＝sin_αcs_β±cs_αsin_β_.
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.辅助角公式
f(x)＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)·sin(x＋φ)．
3.倍角公式
(1)sin 2α＝2sin_αcs_α，
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α，
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
4．半角公式
sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2)) ，cs eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2)) ，
tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(1－cs α,sinα)＝eq \f(sin α,1＋cs α) .
5．积化和差公式
cs αcs β＝eq \f(1,2) [cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
sin αsin β＝－eq \f(1,2) [cs(α＋β)－cs(α－β)]；
sin αcs β＝eq \f(1,2) [sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cs αsin β＝eq \f(1,2) [sin(α＋β)－sin(α－β)]．
6．和差化积公式
sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2) cs eq \f(x－y,2)；
sin x－sin y＝2cs eq \f(x＋y,2) sin eq \f(x－y,2)；
cs x＋cs y＝2cs eq \f(x＋y,2) cs eq \f(x－y,2)；
cs x－cs y＝－2sin eq \f(x＋y,2) sin eq \f(x－y,2).
1.钝角是第二象限角．(√)
[提示] 钝角的范围是大于90°而小于180°，始边与x轴正半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角．
2.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关．
(×)
[提示] 根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．
3.已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.(√)
[提示] 当α为三角形的内角时，0°<α<180°，由三角函数的定义知sin α>0.
4．三角函数线的长度等于三角函数值．(×)
[提示] 三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．
5．对任意角α，eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))＝tan eq \f(α,2) 都成立．(×)
[提示] 由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以错误．
6．若cs α＝0，则sin α＝1.(×)
[提示] 由同角三角函数关系式sin2α＋cs 2α＝1知，当cs α＝0时，sin α＝±1.
7．诱导公式中角α是任意角．(×)
[提示] 正余弦函数的诱导公式中，α为任意角但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
8．若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) >0，则θ是第一象限角．(×)
[提示] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0)) ，所以θ为第二象限角．
9．画正弦函数图像时，函数自变量通常用弧度制表示．(√)
[提示] 在平面直角坐标系中画y＝sin x(x∈R)的图像自变量x为实数，通常用弧度表示．
10．函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.(×)
[提示] 在y＝3sin(2x－5)中x＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.
11.由函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 的图像得到y＝sin x的图像，必须向左平移．
(×)
[提示] 由函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 的图像得到y＝sin x的图像，可以把y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 的图像向右平行移动eq \f(π,3) 得到y＝sin x的图像．
12.函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2))) 的图像与函数y＝cs x，x∈ [0,2π]的图像的形状完全一致．(√)
[提示] 由正、余弦曲线可知它们的图像形状一致．
13.将函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2) 个单位，得到函数y＝cs x的图像．(√)
[提示] 函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2) 个单位，得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) 的图像，因为y＝sin x＋eq \f(π,2)＝cs x，故正确．
14．正切函数在整个定义域上是增函数．(×)
[提示] 正切函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) k∈Z，只能说正切函数在每一个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) ，k∈Z上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．
15．若sin α＝eq \f(1,5) ，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，则α可表示为α＝eq \f(π,2)＋arcsin eq \f(1,5) .(×)
[提示] ∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，
∴π－α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) .
∵sin α＝sin(π－α)＝eq \f(1,5) ，
∴π－α＝arcsin eq \f(1,5) ，
∴α＝π－arcsin eq \f(1,5) .
16．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.(√)
[提示] 若a∥b，则a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.
17．若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(×)
[提示] 当b＝0时，满足a·b＝b·c，但不一定有a＝c.
18．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.(×)
[提示] 当a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a，b为非零向量时，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.
19．对于任意实数α，β，cs(α＋β)＝cs α＋cs β都不成立．(×)
[提示] 当α＝eq \f(π,3) ，β＝－eq \f(π,3) 时，cs(α＋β)＝1，cs α＋cs β＝1，此时cs(α＋β)＝cs α＋cs β.
20．对于任意α∈R，sin eq \f(α,2)＝eq \f(1,2) sin α都不成立．(×)
[提示] 当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
21.tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α) ，只需要满足α≠2kπ＋π，(k∈Z)．(√)
[提示] tan eq \f(α,2) 中，eq \f(α,2) ≠kπ＋eq \f(π,2) 即α≠2kπ＋π，(k∈Z)，
eq \f(sin α,1＋cs α) 中，cs α≠－1即α≠2kπ＋π，(k∈Z)．
22.若x＋y＝1，则sin x＋sin y≥1.(×)
[提示] ∵sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2) cs eq \f(x－y,2)
＝2sin eq \f(1,2) cs eq \f(x－y,2) ，又0
∴2sin eq \f(1,2)<2sin eq \f(π,6)＝1，∴sin x＋sin y
＝2sin eq \f(1,2)cs eq \f(x－y,2)
∴sin x＋sin y<1.
1.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs |x| D．f(x)＝sin|x|
A [f(x)＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f(x)＝cs |x|的周期为2π，可排除C选项；
f(x)＝|sin 2x|在eq \f(π,4)处取得最大值，不可能在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增，可排除B．故选A．]
2.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝eq \f(1,3)，则cs 2α＝( )
A．eq \f(8,9) B．eq \f(7,9) C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
B [cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)＝eq \f(7,9).]
3.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4B．3
C．2D．0
B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B．]
4．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(3π,4)D．π
A [f(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，且函数y＝cs x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋eq \f(π,4)≤π，得－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(3π,4).因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≥－\f(π,4)，,a≤\f(3π,4)，))解得a≤eq \f(π,4)，所以0＜a≤eq \f(π,4)，所以a的最大值是eq \f(π,4)，故选A．]
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sin2x＋eq \f(2π,3)，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
D [因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线y＝cs 2x向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
故选D．]
6．(2016·全国Ⅲ)若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝( )
A．eq \f(64,25) B．eq \f(48,25) C．1 D．eq \f(16,25)
A [因为tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2 α＋4sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1＋4tan α,tan2α＋1)＝eq \f(1＋4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up8(2)＋1)＝eq \f(64,25).故选A．]
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝eq \f(tan x,1＋tan2x)的最小正周期为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．π D．2π
C [函数f(x)＝eq \f(tan x,1＋tan2x)＝eq \f(sin xcs x,cs2x＋sin2x)＝eq \f(1,2)sin 2x的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故选C．]
8．(2019·全国卷Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
C [∵eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(3，t)，
∴eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，t－3)，
∵|eq \(BC,\s\up8(→))|＝1，∴t－3＝0，即eq \(BC,\s\up8(→))＝(1,0)，则Aeq \(B,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝2，故选C．]
9．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A．eq \r(,2) B．2
C．5eq \r(,2) D．50
A [∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝eq \r(,－12＋12)＝eq \r(,2).故选A．]
10．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
B [∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|·cs〈a，b〉－b2＝0，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(|b|2,|a||b|)＝eq \f(|b|2,2|b|2)＝eq \f(1,2)，
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq \f(π,3).故选B．]
11.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
eq \f(1,2) [2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq \f(1,2).]
12.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(,5)b，则cs〈a，c〉＝________.
eq \f(2,3) [a·c＝a·(2a－eq \r(,5)b)＝2a2－eq \r(,5)a·b＝2，
∵c2＝(2a－eq \r(,5)b)2＝4a2－4eq \r(,5)a·b＋5b2＝9，∴|c|＝3，
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(2,3).]
13.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－eq \f(1,2) [∵sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，∴sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1①，cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).]
不等式
|a·b|≤ |a||b|
恒等式
a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(,a·a)
向量垂直
的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0
一、弧度制与任意角的三角函数
1.角的概念经过推广以后，包括正角、负角、零角．
2.按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角(又叫象限界角)．
3.与角α终边相同的角可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
4．角度制与弧度制的换算关系是180°＝π.
5．扇形弧长公式是l＝αr，扇形面积公式是S＝eq \f(1,2)lr.
6．三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦．
7．同角三角函数的基本关系式是sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α).
8．三角函数的诱导公式都可表示为eq \f(kπ,2)±α，k∈Z的形式，可简记为奇变偶不变，符号看象限．
二、三角函数的图像与性质
1.正弦函数
(1)定义域R，值域[－1,1]，最小正周期2π.
(2)单调增区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))k∈Z；
单调减区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))k∈Z.
2.余弦函数
单调增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；
单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
3.正切函数
(1)定义域：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
(2)单调增区间：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.
4．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，应明确A，ω决定“形变”，φ，k决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
5．由已知函数图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图像求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．
三、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cs 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cs 〈a，b〉．
(1)当〈a，b〉∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))时，a·b＞0; 当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a·b＝0；当〈a，b〉∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，a·b<0.
(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：
3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)设非零向量b所在的直线为l，向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．
(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cs 〈a，b〉为向量a在b上的投影的数量．
(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
四、向量的运算律与坐标运算
1.向量的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a，
a·b＝b·a .
(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，
a－b－c＝a－(b＋c)．
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) .
(3)分配律
(λ＋u)a＝λa＋ua，
λ(a＋b)＝λa＋λb，
(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2.向量的坐标运算
已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2，
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))，a2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 .
五、三角恒等变换
1.和角公式
(1)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β .
(2)sin(α±β)＝sin_αcs_β±cs_αsin_β_.
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.辅助角公式
f(x)＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)·sin(x＋φ)．
3.倍角公式
(1)sin 2α＝2sin_αcs_α，
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α，
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
4．半角公式
sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2)) ，cs eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2)) ，
tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(1－cs α,sinα)＝eq \f(sin α,1＋cs α) .
5．积化和差公式
cs αcs β＝eq \f(1,2) [cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
sin αsin β＝－eq \f(1,2) [cs(α＋β)－cs(α－β)]；
sin αcs β＝eq \f(1,2) [sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cs αsin β＝eq \f(1,2) [sin(α＋β)－sin(α－β)]．
6．和差化积公式
sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2) cs eq \f(x－y,2)；
sin x－sin y＝2cs eq \f(x＋y,2) sin eq \f(x－y,2)；
cs x＋cs y＝2cs eq \f(x＋y,2) cs eq \f(x－y,2)；
cs x－cs y＝－2sin eq \f(x＋y,2) sin eq \f(x－y,2).
1.钝角是第二象限角．(√)
[提示] 钝角的范围是大于90°而小于180°，始边与x轴正半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角．
2.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关．
(×)
[提示] 根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．
3.已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.(√)
[提示] 当α为三角形的内角时，0°<α<180°，由三角函数的定义知sin α>0.
4．三角函数线的长度等于三角函数值．(×)
[提示] 三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．
5．对任意角α，eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))＝tan eq \f(α,2) 都成立．(×)
[提示] 由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以错误．
6．若cs α＝0，则sin α＝1.(×)
[提示] 由同角三角函数关系式sin2α＋cs 2α＝1知，当cs α＝0时，sin α＝±1.
7．诱导公式中角α是任意角．(×)
[提示] 正余弦函数的诱导公式中，α为任意角但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
8．若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) >0，则θ是第一象限角．(×)
[提示] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0)) ，所以θ为第二象限角．
9．画正弦函数图像时，函数自变量通常用弧度制表示．(√)
[提示] 在平面直角坐标系中画y＝sin x(x∈R)的图像自变量x为实数，通常用弧度表示．
10．函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.(×)
[提示] 在y＝3sin(2x－5)中x＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.
11.由函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 的图像得到y＝sin x的图像，必须向左平移．
(×)
[提示] 由函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 的图像得到y＝sin x的图像，可以把y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 的图像向右平行移动eq \f(π,3) 得到y＝sin x的图像．
12.函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2))) 的图像与函数y＝cs x，x∈ [0,2π]的图像的形状完全一致．(√)
[提示] 由正、余弦曲线可知它们的图像形状一致．
13.将函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2) 个单位，得到函数y＝cs x的图像．(√)
[提示] 函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2) 个单位，得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) 的图像，因为y＝sin x＋eq \f(π,2)＝cs x，故正确．
14．正切函数在整个定义域上是增函数．(×)
[提示] 正切函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) k∈Z，只能说正切函数在每一个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) ，k∈Z上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．
15．若sin α＝eq \f(1,5) ，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，则α可表示为α＝eq \f(π,2)＋arcsin eq \f(1,5) .(×)
[提示] ∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，
∴π－α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) .
∵sin α＝sin(π－α)＝eq \f(1,5) ，
∴π－α＝arcsin eq \f(1,5) ，
∴α＝π－arcsin eq \f(1,5) .
16．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.(√)
[提示] 若a∥b，则a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.
17．若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(×)
[提示] 当b＝0时，满足a·b＝b·c，但不一定有a＝c.
18．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.(×)
[提示] 当a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a，b为非零向量时，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.
19．对于任意实数α，β，cs(α＋β)＝cs α＋cs β都不成立．(×)
[提示] 当α＝eq \f(π,3) ，β＝－eq \f(π,3) 时，cs(α＋β)＝1，cs α＋cs β＝1，此时cs(α＋β)＝cs α＋cs β.
20．对于任意α∈R，sin eq \f(α,2)＝eq \f(1,2) sin α都不成立．(×)
[提示] 当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
21.tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α) ，只需要满足α≠2kπ＋π，(k∈Z)．(√)
[提示] tan eq \f(α,2) 中，eq \f(α,2) ≠kπ＋eq \f(π,2) 即α≠2kπ＋π，(k∈Z)，
eq \f(sin α,1＋cs α) 中，cs α≠－1即α≠2kπ＋π，(k∈Z)．
22.若x＋y＝1，则sin x＋sin y≥1.(×)
[提示] ∵sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2) cs eq \f(x－y,2)
＝2sin eq \f(1,2) cs eq \f(x－y,2) ，又0
∴2sin eq \f(1,2)<2sin eq \f(π,6)＝1，∴sin x＋sin y
＝2sin eq \f(1,2)cs eq \f(x－y,2)
∴sin x＋sin y<1.
1.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs |x| D．f(x)＝sin|x|
A [f(x)＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f(x)＝cs |x|的周期为2π，可排除C选项；
f(x)＝|sin 2x|在eq \f(π,4)处取得最大值，不可能在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增，可排除B．故选A．]
2.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝eq \f(1,3)，则cs 2α＝( )
A．eq \f(8,9) B．eq \f(7,9) C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
B [cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)＝eq \f(7,9).]
3.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4B．3
C．2D．0
B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B．]
4．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(3π,4)D．π
A [f(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，且函数y＝cs x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋eq \f(π,4)≤π，得－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(3π,4).因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≥－\f(π,4)，,a≤\f(3π,4)，))解得a≤eq \f(π,4)，所以0＜a≤eq \f(π,4)，所以a的最大值是eq \f(π,4)，故选A．]
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sin2x＋eq \f(2π,3)，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
D [因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线y＝cs 2x向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
故选D．]
6．(2016·全国Ⅲ)若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝( )
A．eq \f(64,25) B．eq \f(48,25) C．1 D．eq \f(16,25)
A [因为tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2 α＋4sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1＋4tan α,tan2α＋1)＝eq \f(1＋4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up8(2)＋1)＝eq \f(64,25).故选A．]
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝eq \f(tan x,1＋tan2x)的最小正周期为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．π D．2π
C [函数f(x)＝eq \f(tan x,1＋tan2x)＝eq \f(sin xcs x,cs2x＋sin2x)＝eq \f(1,2)sin 2x的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故选C．]
8．(2019·全国卷Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
C [∵eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(3，t)，
∴eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，t－3)，
∵|eq \(BC,\s\up8(→))|＝1，∴t－3＝0，即eq \(BC,\s\up8(→))＝(1,0)，则Aeq \(B,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝2，故选C．]
9．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A．eq \r(,2) B．2
C．5eq \r(,2) D．50
A [∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝eq \r(,－12＋12)＝eq \r(,2).故选A．]
10．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
B [∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|·cs〈a，b〉－b2＝0，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(|b|2,|a||b|)＝eq \f(|b|2,2|b|2)＝eq \f(1,2)，
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq \f(π,3).故选B．]
11.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
eq \f(1,2) [2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq \f(1,2).]
12.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(,5)b，则cs〈a，c〉＝________.
eq \f(2,3) [a·c＝a·(2a－eq \r(,5)b)＝2a2－eq \r(,5)a·b＝2，
∵c2＝(2a－eq \r(,5)b)2＝4a2－4eq \r(,5)a·b＋5b2＝9，∴|c|＝3，
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(2,3).]
13.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－eq \f(1,2) [∵sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，∴sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1①，cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).]
不等式
|a·b|≤ |a||b|
恒等式
a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(,a·a)
向量垂直
的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0
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