26.高一数学（人教B版）三角恒等变换的应用（第一课时）1教案

教学基本信息

课题

三角恒等变换的应用（第一课时）

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名:普通高中教科书  数学  必修第三册

出版社：人民教育出版社

出版日期：2019 年 7月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：了解半角的正弦、余弦和正切公式的推导过程，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.通过公式的推导，了解它们之间，以及它们与倍角公式之间的内在联系，还有角与角之间的转化关系，培养学生的逻辑推理能力.

教学重点、难点：半角的正弦、余弦和正切公式的推导.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

温故知新：

请同学们开动脑筋，至少用两种办法计算.

复习角变换及和（差）角公式、二倍角公式.

新课

探究新知：

1.二倍角余弦公式的变形.

（根号前的正负号，由所在象限确定.）

（根号前的正负号，由所在象限确定.）

2.降幂公式，

观察这两个等式左边是二次，右边是一次式，此公式起到降次的作用，因此把这两个公式称为降幂公式.

3. 半角公式

观察

这两个等式的左边角是右边角的一半，为了更好的体现一半的关系，我们将左侧角记作，右侧角记作，这里蕴含着换元的思想.

由

得到 

其中根号前的正负号，由所在象限确定.

由得到

由同角的正弦与余弦之比可求该角的正切，因此

小结：半角的正弦、余弦和正切公式都可以用单角的余弦来表示。如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；若给出角的具体范围，则先求出所在范围，然后根据所在范围确定符号.

由二倍角的余弦公式变形开始,便于感受公式间的联系.

给出降幂公式的名称,便于与二倍角余弦区分.

感受换元思想

明确正负号的判断方法.

例题

例1  已知，且，试求和的值.

解：，，即在第二象限，因此，
 

例2  求证：

 （1）     （2） 

证明：（1）法一：左推右

法二：右推左

证明：（2）

例3  已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正弦、余弦和正切.

分析：解题前首先要寻找已知中所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.

由及可知

解：设等腰三角形的顶角为 ，底角为锐角分别为，，则

由，及可知

当然在知道的情况下，可以根据同角三角函数关系得到

例4  求函数的周期。

提问：三角函数周期的计算前提是什么？

（化成一个角的一个三角函数的一次式。）

提问：辅助角公式是哪个公式的逆用？

解  

所以函数的周期是.

巩固半角公式

规范书写过程

巩固降幂公式和证明题的思路.

巩固二倍角公式的正用和逆用.

多角度思考问题.

指导审题.

巩固诱导公式和半角公式.

多种方法完成问题.

巩固降幂公式和辅助角公式及正弦型函数周期.

总结

通过本节课的学习，同学们知道了半角的正弦、余弦和正切公式的推导过程，通过公式的推导，了解了它们之间以及它们与倍角公式之间的内在联系，还有角与角之间的转化关系，因此进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式，这是三角恒等变换的一个重要特点.

明确角之间的关系决定公式的选择.

作业

1. 用半角公式求出的值.
2. 求函数的周期和最大值.

巩固降幂公式、半角公式.