19.高一数学（人教B版）-向量的数量积的概念(第二课时）-1教案

教学基本信息

课题

向量数量积的概念（第二课时）

学科

数学

学段：高中

年级

高一

教材

书名:普通高中教科书  数学  必修第三册

出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1..了解向量在直线上和在向量上投影的定义，以及投影向量的数量的定义；

2. 了解向量数量积的几何意义；

3. 在向量数量积的几何意义的学习过程中，体会向量“形”的几何身份，在应用向量数量积的几何意义解决问题的过程中体会数形结合思想的应用.

教学重点、难点：向量数量积几何意义的理解.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

复习回顾：

1.向量数量积的定义；

2.向量的加法运算、减法运算、数乘运算的几何意义；

3，提出问题：向量的数量积的运算是否也具有几何意义呢？

提出问题，引发思考.

新课

学生看图，直观感知向量投影的定义

通过具体问题的练习，巩固对定义的理解和记忆

通过设问引起思考

指出探究方向

数形结合，分情况讨论

体会分类讨论思想的应用

总结性结论，加深对知识的认识

巩固投影的数量的定义，同时与前面练习相呼应

例题

一、求解向量的数量积的两种方法

例：如图所示，求下列向量的数量积

（1）    （2）    （3）

第一小题，求向量与向量的数量积，可以用两种方法解决这个问题.

方法一：按照上节课所学的数量积的定义，结合图形，我们可以得到向量的模为1，向量的模为根号2，向量与夹角的大小为，所以我们可以求出向量与向量的数量积等于=1.

方法二：按照本节课所学的数量积的几何意义，从图中可以得到向量在向量上投影的数量为1，且向量为单位向量，模长为1，因此根据向量数量积的几何意义可知，向量与向量的数量积等于向量在向量上投影的数量1与向量的模长1的乘积，结果等于1.

或者直接应用上面的特殊结论，由于向量为单位向量，所以向量与向量的数量积就等于向量在向量上投影的数量，结果为1

第二小题，由图可知向量与的夹角为，所以向量与向量 的数量积为0.

第三小题，同理第一小题，由图可知向量在向量上投影模长为1，并且与向量方向相反，所以向量在向量上的投影的数量为-1，且向量为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知向量与向量的数量积等于-1.

小结：如果向量与向量都是非零向量，那么它们的数量积的求解，我们既可以利用数量积的定义，也可以利用数量积的几何意义.其中，应用向量数量积的定义解题，需要分别找出两个向量的模及其夹角三个要素；应用向量数量积的几何意义解题需要找出其中一个向量在另外一个向量上的投影的数量和另外一个向量的模两个要素. 如果题目已知条件中，几何要素比较充分时，可以考虑用数量积的几何意义解题.所以在遇到具体向量数量积的求解问题时，我们可以根据已知条件选择恰当的解题方法.

二、数量积运算与实数乘法运算的区别

思考题：如果向量，，为非零向量，且，那么向量和一定相等吗？

问题：看到这个题目你会联想到实数的乘法运算吗？

当,,为非零实数时，如果=，很显然实数与是 相等的.

那么，当，，为非零向量时，这个结论还成立吗？

如图所示，只需满足向量与向量在向量上的投影的数量相等，根据向量数量积的几何意义，就可以使得向量与向量的数量积等于向量与向量的数量积，而此时向量和向量是不相等的，当然当向量与向量c相等时，等式也是成立的.因此当向量与向量的数量积等于向量与向量的数量积时，向量与向量是不一定相等的.

三、 应用向量数量积的几何意义解题

例题：如图，在等腰梯形中，，,,点为线段上一个动点（含端点）.则向量与向量数量积的最小值为       最大值为          .

解：分析题意可知，向量的模长和方向始终保持不变，但向量的模长和方向均会随着点的运动而改变.此时很显然用向量数量积的定义解题时会涉及两个变化的量，求解是有很大难度的.而由向量数量积的几何意义可知，要想求出向量与向量的数量积，不管向量如何变化，只需关注向量在向量上投影的数量这一个变量即可，显然会更容易些.

结合图形发现，当点位于点位置时，向量在向量上投影的数量最小，由平面几何知识可求得投影数量的最小值为1. 所以向量与向量的数量积的最小值为向量在向量上投影的数量的最小值1与向量的模长4的乘积，结果等于4.

同理，当点位于点位置时，向量在向量上投影的数量最大，最大值为3. 所以向量与向量的数量积的最大值为3乘以4，等于12.

小结：在向量数量积的几何意义中涉及三个要素，分别是：向量的数量积，一个向量在另一个向量上投影的数量以及另外一个向量的模.其实三个要素中，已知任意两个要素，都可以去求解第三个要素，而不局限于只求解向量的数量积.

练习：

（1）已知，，则   ；

（2）已知，，则   ；

（3）已知，，则   .

解：第一小题，根据向量数量积的几何意义，可知向量与的数量积为向量在向量上的投影的数量，即向量的模与向量与的夹角余弦值的乘积2，与向量的模2两者之积，结果等于4. 

第二小题，根据向量数量积的几何意义，可知向量的模等于向量与向量的数量积4与向量在向量上的投影的数量2的商，结果等于2. 

第三小题，根据向量数量积的几何意义，类比第二小题，可知向量在向量上投影的数量为已知两项之商，结果等于2. 

以上三个小题就是向量数量积几何意义中三个要素知二求一的具体体现.

例题：如图，在直角三角形ABC中，，则等于       ，的取值范围为        .

解：由向量投影的数量的相关知识，结合图形可知，向量在向量上的投影的数量等于边的长度，所以向量与向量的数量积就为边长度的平方，等于4，从而解得=2.而在直角三角形中，斜边的长只需大于直角边的长即可，所以的取值范围为.

体会应用数量积的定义和几何意义求解向量数量积的两种方法

分析两种求解数量积的方法所需条件，有利于学生在具体问题中能够选择恰当的方法

体会数量积的运算与实数的乘法运算之间的区别

通过对问题的分析体会数量积在证明问题中的作用，为后面数量积的运算律的证明做铺垫

数量积的几何意义在求解几何问题中的重要作用，体会向量的“形”的特征

阶段小结:

灵活运用数量积的几何意义解题

强化练习

总结

本节课的主要内容为向量的投影与向量数量积的几何意义，综合所学知识，我们对于求解向量投影的数量以及向量的数量积问题，各得到两条路径.

在求解向量数量积时，既可以通过寻找定义中所需的三个要素（即各自的模长和夹角）解决问题，也可以应用向量数量积的几何意义寻找其所需的两个要素（即投影的数量和模长）解决问题.

在求解向量投影的数量时，可以用模长与两向量夹角余弦值的乘积求得，也可以应用向量数量积的几何意义求得.

本节课所学习的向量的投影及其数量，数量积的几何意义，都是充分体现向量“形”的几何身份的知识，在后面要学的向量数量积的运算律，以及向量线性运算相关问题的证明上都有着巨大的作用，是解决向量相关问题所特有的工具.希望同学们能够牢固掌握，并且在具体问题中做到灵活运用.

总结提炼，升华对所学知识的理解

作业

1.已知，，且，求向量在向量上投影的数量.

2.如图所示，求出下列向量的数量积.

(1)   (2)    (3)   (4)

解：

1.向量 在向量 上投影的数量为，

2.（1）=

（2）=

（3）=

（4）=

巩固所学知识