人教B版高中数学必修第三册第8章章末综合提升课件+学案

类型1　平面向量的数量积

平面向量的数量积是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响其他内容的学习．常通过向量的数量积考查向量的平行、垂直、夹角、长度等．

【例1】　非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值．

[思路探究]　

→

→

[解]　由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得

解得

所以|a||b|＝－a·b，

所以cos θ＝＝－.

[跟进训练]

1．如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则·＝(　　)

A． B．　　

C．－ D．－

C　[设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，

在Rt△ABD中，cos ∠ABC＝，·＝||||·cos (π－∠ABC)＝2×1×＝－.故选C.]

类型2　向量的坐标运算

1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．

2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．

3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角、判断共线、平行、垂直等问题．

【例2】　已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).

(1)求线段BD的中点M的坐标；

(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．

[解]　(1)设点B的坐标为(x1，y1).

因为＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，

所以所以

所以B(3，1).同理可得D(－4，－3).

设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，

则x2＝＝－，y2＝＝－1，

所以M.

(2)由已知得＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，

＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).

又＝λ，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，

则所以

[跟进训练]

2．已知△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求.

[解]　设D(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，

＝(x－3，y－2)，＝(－6，－3)，

因为⊥，所以·＝0，

则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0，  ①

因为∥，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0， ②

解由①②构成的方程组得

则D点坐标为(1，1)，所以＝(－1，2).

类型3　平面向量的应用

1．向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．

2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．

3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．

【例3】　已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.

求证：(1)BE⊥CF；

(2)AP＝AB.

[证明]　如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则

A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).

(1)＝－＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)，

＝－＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1).

因为·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，

所以⊥，即BE⊥CF.

(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，

＝(x－2，y)，

因为∥，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.

同理，由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，

解得x＝，所以y＝，即P.

所以||2＝＋＝4＝||2，

所以||＝||，即AP＝AB.

[跟进训练]

3．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．

[解]　(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，

所以＝(1，1)，＝(－3，3)，

所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，

所以⊥，即AB⊥AD.

(2)因为四边形ABCD为矩形，所以⊥，＝.

设C点的坐标为(x，y)，

则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，

所以解得

所以C点的坐标为(0，5).

从而＝(－2，4)，＝(－4，2)，

所以||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.

设与的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，

所以矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.

类型4　给值求值问题

给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．

【例4】　已知<α<π，tan α＋＝－.

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

[解]　(1)由tan α＋＝－，得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tan α＝－3或tan α＝－.

又<α<π，

所以tan α＝－.

(2)原式＝

＝

＝＝＝－.

[跟进训练]

4．已知sin ＝，cos ＝，且0＜α＜＜β＜，求cos (α＋β)的值．

[解]　因为0＜α＜＜β＜，

所以＜＋α＜π，－＜－β＜0.

又sin ＝，cos ＝，

所以cos ＝－.

sin ＝－.

cos (α＋β)＝sin ＝sin

＝sin cos －cos sin ＝×－×＝－.

类型5　三角恒等变形的综合应用

与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：

(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝A sin (ωx＋φ)＋k或y＝A cos (ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．

(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．

【例5】　已知向量a＝(1，－)，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝a·b.

(1)若f(θ)＝0，求的值；

(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．

[解]　(1)因为a＝(1，－)，b＝(sin x，cos x)，

所以f(x)＝a·b＝sin x－cos x，

因为f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，

所以tan θ＝，

所以

＝

＝

＝

＝－2＋.

(2)f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，

因为x∈[0，π]，所以x－∈，

当x－＝－，即x＝0时，取最小值－，

当x－＝，即x＝时，取最大值2，

所以当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2].

[跟进训练]

5．已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(，－1)，且m·n＝1，且A为锐角．

(1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos A sin x(x∈R)的值域．

[解]　(1)由题意得m·n＝sin A－cos A＝1，

2sin ＝1，sin ＝.

由A为锐角得A－＝，A＝.

(2)由(1)知cos A＝，

所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sinx

＝－2＋.

因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，因此，

当sin x＝时，f(x)有最大值，

当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，

所以所求函数f(x)的值域为.

1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)

A．a＋2b B．2a＋b  

C．a－2b D．2a－b

D　[由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.]

2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A． B．  

C． D．

B　[设a与b的夹角为θ，

∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.

又a·b＝|a||b|·cos θ，|a|＝2|b|，

∴2|b|2cos θ－|b|2＝0，∴cos θ＝.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

故选B.]

3．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)

A．－3 B．－2  

C．2 D．3

C　[因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.]

4．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)

A． B．  

C． D．

A　[∵3cos 2α－8 cos α＝5，∴3(2 cos2α－1)－8cosα＝5，∴6cos2α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cosα－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－.∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.]

5．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A． B．  

C． D．

B　[由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cosα＝，所以2sinα＝1－sin2α，解得sinα＝，故选B.]