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(新)人教B版(2019)必修第三册学案:第8章 8.2 8.2.4 第1课时 半角的正弦、余弦和正切(含解析)

学案
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8.2.4 三角恒等变换的应用

1课时 半角的正弦、余弦和正切

学 习 目 标

核 心 素 养

1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程.(一般)

2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式,能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)

1.通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导,培养学生的逻辑推理的核心素养.

2.借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用,提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.

半角公式

sin±cos±

tan±.

思考:如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?

[提示](1)如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.

(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时,则先求角所在范围,然后再根据角所在象限确定符号.

1.cos αα(0π),则cos 的值为(  )

A  B.-   

C    D.-

C [由题意知cos >0

cos .]

2.下列各式与tan α相等的是(  )

A    B

C   D

D [|tan α|

tan

tan α.]

3.α2π),则等于________

sin  [.

α2π)sin >0,故原式=sin .]

化简问题

1】 已知π<α<,求

的值.

[思路探究] 解答本题可先用二倍角公式升幂,再根据的范围开方化简.

[] 原式=

π<α<<<cos <0sin >0.

原式=

=-=-cos .

要熟记一些可用公式的形式,如:1cos α2 cos21cos α2 sin21±sin α等,解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路.

1.已知<θ<2π,试化简:.

[] <θ<2π<

0sin,-1cos<-

从而sincos0sincos0.

原式=

=-

=-2sin .

求值问题

2】 已知|cos θ|,且<θ<3π,求sin cos tan 的值.

[思路探究] 

[] <θ<3π,且|cos θ|可知,

cos θ=-.

sin2

sin =-=-.

cos2

cos =-.

tan 2.

已知θ的某三角函数值,求的相应三角函数值时,常借助于半角公式sin2cos2tan 来处理,由于上述式子中可能涉及解的不定性,故在求解中应注意求的范围.   

2.已知sin cos =-450°<α<540°,求sin αtan 的值.

[] 1sin α

sin α

sin cos

解得tan 2tan .

450°<α<540°

225°<<270°

tan >1tan 2.

综上可知sin αtan 2.

三角恒等式的证明

3(1)求证:12cos2θcos 2θ2.

(2)求证:

.

[思路探究](1)可由左向右证:先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证.

(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化.

[证明](1)左边=12×cos 2θ2=右边.

所以原等式成立.

(2)左边=

=右边.

所以原等式成立.

三角恒等式证明的五种常用方法:

(1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简.

(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.

(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.

(4)比较法:设法证明左边-右边=0”左边/右边=1”

(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.

3.已知0<α<0<β<,且3sin βsin(2αβ)4tan 1tan2,求证:αβ.

[证明] 3sin βsin(2αβ)

3sin(αβα)sin(αβα)

3sin(αβ)cos α3cos(αβ)sin α

sin(αβ)cos αcos(αβ)sin α

2sin(αβ)cos α4cos(αβ)sin α

tan(αβ)2tan α.

4tan 1tan2

tan α

tan(αβ)2tan α1

αβαβ.

三角恒等变换与三角函数图像性质的综合应用

[探究问题]

1.如何求函数ysin2sin2(xR)的最小正周期?

[提示] ysin1cos

sin1sin1

所以函数的最小正周期Tπ.

2.研究形如f(x)asin2ωxbsin ωxcos ωxccos2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答?

[提示] 研究形如f(x)asin2ωxbsin ωxcos ωxccos2ωx的性质时,先化成f(x)sin(ωxφ)c的形式再解答.

4 已知函数f(x)4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.

(1)ω的值;

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

[思路探究] 利用三角公式化简函数式,写为f(x)Asin(ωxφ)B的形式,再讨论函数的性质.

[](1)f(x)4cos ωx·sin

2sin ωx·cos ωx2cos2ωx

(sin 2ωxcos 2ωx)

2sin.

因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有π,故ω1.

(2)(1)知,f(x)2sin.

0x,则2x.

2x

0x时,f(x)单调递增;

<2x

<x时,f(x)单调递减.

综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.

三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成yasin ωxbcos ωxk的形式,借助辅助角公式化为yAsinωxφkyAcosωxφk的形式,将ωxφ看作一个整体研究函数的性质.

4.已知函数f(x)=-sin6sin xcos x2cos2x1xR.

(1)f(x)的最小正周期;

(2)f(x)在区间上的最大值和最小值.

[](1)f(x)=-sin 2xcos 2x3sin 2xcos 2x

2sin 2x2cos 2x2sin.

所以f(x)的最小正周期Tπ.

(2)(1)f(x)2sin

由于x,所以2x

sin.

所以f(x)上的最大值为2,最小值为-2.

常用的三角恒等变换思想方法

(1)常值代换

用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数,使之代换后能运用相关公式,化简得以顺利进行.我们把这种代换称为常值代换.

(2)切化弦

当待化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式tan α,将正切化为正弦和余弦,这就是切化弦的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名称.

(3)降幂与升幂

C2α变形后得到公式:sin2α(1cos 2α)cos2α(1cos 2α),运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1cos 2α2cos2α1cos 2α2sin2α,就是升幂.

(4)角的变换

角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系,使公式顺利运用,解题过程被简化.常见的角的变换有:α(αβ)βαβ(βα)α[(αβ)(αβ)]α[(αβ)(βα)]αβ(2αβ)α.

1.已知cos αα,则sin 等于(  )

A    B.-

C   D

A [由题知

sin >0sin .]

2.已知sin αcos α=-,则sin 2α的值等于(  )

A B.-

C.-   D

C [sin αcos α=-(sin αcos α)212sin α·cos α1sin 2α,所以sin 2α=-.]

3.函数ysin 2xcos2x的最小正周期为________

π [ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin函数的最小正周期Tπ.]

4.求证:.

[证明] 原式可变形为

1sin 4θcos 4θtan 2θ(1sin 4θcos 4θ)

式右边=(12cos22θ12sin 2θcos 2θ)

(2cos22θ2sin 2θcos 2θ)2sin 2θ(cos2θsin2θ)

2sin 2θcos2θ2sin22θsin4θ1cos4θ=左边.

∴①式成立,即原式得证.

 

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