人教B版高中数学必修第三册全书要点速记课件+学案

第七章　三角函数)

要点1　任意角的概念与弧度制

1．角的概念的推广

任意角

2．象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

3．终边相同的角

所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同．

4．弧度制及其与角度制的换算

(1)弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.

这样规定出来的1弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．

(2)弧度制与角度制的换算公式

2π＝360°，1°＝，1＝°≈57.3°.

(3)在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝.

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(4)若扇形的圆心角为α(α为弧度制)，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l＝r|α|，C＝2r＋l，S＝lr＝|α|r2.

要点2　任意角的三角函数

1．任意角的三角函数的定义

对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，一般地，称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝；称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝；

当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝.

2．正弦、余弦与正切在各象限的符号

第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

3．单位圆与三角函数线

如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则

称为角α的余弦线；

称为角α的正弦线；

设角α的终边与直线x＝1交于点T，则称为角α的正切线．

4．同角三角函数的基本关系式

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切，即sin2α＋cos2α＝1；＝tan α.

要点3　诱导公式

1．诱导公式

sin (α＋k·2π)＝sin α，cos (α＋k·2π)＝cos α，tan (α＋k·2π)＝tan α.

2．诱导公式②

sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.

3．诱导公式③

sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α.

4．诱导公式④

sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α.

5．诱导公式⑤

sin ＝cos α，cos ＝sin α.

6．诱导公式⑥

sin ＝cos α，cos ＝－sin α.

7．诱导公式⑦

cos ＝sin α，sin ＝－cos α.

8．诱导公式⑧

cos ＝－sin α，sin ＝－cos α.

口诀：奇变偶不变，符号看象限．6666666

要点4　三角函数的性质与图像

要点5　三角函数图像的变换

1．先平移后伸缩：

y＝sin x的图像y＝sin (x＋φ)的图像y＝sin (ωx＋φ)的图像y＝A sin (ωx＋φ)的图像．

2．先伸缩后平移：

y＝sin x的图像y＝sin ωx的图像y＝sin (ωx＋φ)的图像y＝A sin (ωx＋φ)的图像．

注意：先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别，在作图像时，提倡先相位变换再周期变换．

要点6　已知三角函数值求角

1．已知正弦值，求角

对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1，1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝arcsin y.

2．已知余弦值，求角

在区间[0，π]上符合条件cos x＝y(－1≤y≤1)的角x，记为x＝arccos y.

3．已知正切值，求角

一般地，如果tan x＝y(y∈R)，且x∈，那么对每一个正切值y，在区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记作x＝arctan y，x∈.

第八章　向量的数量积与三角恒等变换)

要点1　向量的数量积

1．两个向量的夹角

给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，如图，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．

2．向量数量积

(1)定义

一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．

(2)性质

设a和b都是非零向量，则

①a⊥b⇔a·b＝0.

②当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.

③|a·b|≤|a||b|.

3．向量的投影与向量数量积的几何意义

(1)投影

如图①所示，设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影．

图①　　　　　　　图②

类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．如图②中，向量a在向量b上的投影为.

(2)投影的数量

一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．

4．向量数量积的运算律

①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5．向量数量积的坐标运算

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|2＝x＋y，或|a|＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)设θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.

6．向量在三角形中的重要结论

(1)重心：设G是△ABC所在平面内一点，则G是△ABC重心的充要条件是＋＋＝0或3＝＋＋(其中P为平面内任意一点).

(2)垂心：向量λ(λ≠0)所在的直线过△ABC的垂心(该向量在BC边上的高AD所在的直线上).

设H是△ABC所在平面内一点，则H是△ABC的垂心的充要条件是·＝·＝·.

(3)内心：向量λ(λ≠0)所在的直线过△ABC的内心(该向量在∠BAC的平分线所在的直线上).

设I是△ABC所在平面内一点，则I为△ABC的内心的充要条件是a＋b＋c＝0或＝(a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对边的长，P为平面内任意一点).

(4)外心：设O是△ABC所在平面内一点，则O为△ABC外心的充要条件是||＝||＝||(即点O到三个顶点的距离相等)，或(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0.

要点2　和、差、倍、半公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(1)cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；

(2)cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

(3)sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；

(4)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；

(5)tan (α－β)＝⇒tan α－tan β＝tan (α－β)·(1＋tan αtan β)；

(6)tan (α＋β)＝⇒tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β).

2．辅助角公式

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y＝A sin (ωx＋φ)＋B形式．A sin α＋B cos α＝sin (α＋φ)，其中tan φ＝.

3．二倍角的正弦、余弦和正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α⇒1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2.

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α⇒升幂公式1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2⇒降幂公式cos2α＝，sin2α＝.

(3)tan 2α＝.

4．半角公式

cos＝±，sin ＝±，tan ＝±＝＝.

符号由的终边所在象限决定．

要点3　积化和差、和差化积公式

1．积化和差公式

cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，

sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]，

sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]，

cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)].

2．和差化积公式

cos α＋cos β＝2cos cos ，

cos α－cos β＝－2sin sin ，

sin α＋sin β＝2sin cos ，

sin α－sin β＝2cos sin .