人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.4 正切函数的性质与图修优质导学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.4 正切函数的性质与图修优质导学案及答案，共11页。学案主要包含了的图像与性质.等内容，欢迎下载使用。







1.正切函数的性质


(1)函数y＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) 的图像与性质.


(2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是eq \f(π,|ω|).


2.正切函数的图像


(1)正切函数的图像：


y＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)) 的图像如图．





(2)正切函数的图像叫做正切曲线．


(3)正切函数的图像特征：


正切曲线是由通过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z) 且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．


思考：正切函数的图像是对称的吗？


[提示] 正切函数是奇函数，其图像关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，正切函数的图像不是轴对称图形．





1.函数y＝－3tan x＋7的值域是( )


A．R B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))


C．(0，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)


A [因为y＝tan x，x∈R的值域为R，所以y＝－3tan x＋7的值域也为R.]


2.y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))定义域为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3,8)π，k∈Z)))) [∵2x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


∴x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3,8)π，k∈Z.]


3.函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z [令kπ－eq \f(π,2)

得kπ－eq \f(3,4)π

即y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的单调增区间为


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z.]





【例1】(1)函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域是________．


(2)函数y＝tan(sin x)的值域为________．


(3)求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的值域．


[思路探究](1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．


(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．


(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．


(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))(2)[－tan 1，tan 1] [(1)要使函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x＋1≥0，,1－tan x>0，))即－1≤tan x<1.


在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).


又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).


(2)因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，


因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，


即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．]


(3)[解] 令t＝tan x，


∵x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，∴t＝tan x∈[－eq \r(3)，eq \r(3))，


∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，


∴t＝1时，y取最大值6，


t＝－eq \r(3)时，y取最小值2－2eq \r(3)，


∴函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))时的值域为[2－2eq \r(3)，6]．





1.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：


(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z；


(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．


2.解正切不等式的两种方法：


(1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；


(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．








1.求函数y＝eq \f(\r(tan x－1),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))))的定义域．


[解] 根据题意，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x≥1，,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≠0，,x＋\f(π,6)≠\f(π,2)＋kπk∈Z，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,2)＋kπ，,x≠－\f(π,6)＋kπ，,x≠\f(π,3)＋kπ，))(k∈Z)．


所以函数的定义域为


eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．


【例2】(1)函数y＝4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的周期为________．


(2)判断下列函数的奇偶性：


①f(x)＝eq \f(tan2x－tan x,tan x－1)；


②f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).


[思路探究](1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．


(2)可按定义法的步骤判断．


(1)eq \f(π,3) [由于ω＝3，故函数的周期为T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,3).]


(2)[解] ①由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tan x≠1，))


得f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，


不关于原点对称，


所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．


②函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，


关于原点对称，


又f(－x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))


＝－f(x)，


所以函数是奇函数．





1.函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：


(1)定义法．


(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).


(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．


2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：


先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．








2.(1)求f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期；


(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．


[解](1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，


即taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，


∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2).


(2)定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，


关于原点对称，


∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x


＝－f(x)，


∴函数是奇函数.


【例3】(1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间；


(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．


[思路探究](1)可先令y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，从而把eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)整体代入eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z这个区间内解出x便可．


(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的单调性判断大小关系．


[解](1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，


由kπ－eq \f(π,2)

得2kπ－eq \f(π,2)

∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调递减区间是2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3,2)π(k∈Z)，无增区间．


(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，


又∵eq \f(π,2)<2<π，∴－eq \f(π,2)<2－π<0，∵eq \f(π,2)<3<π，∴－eq \f(π,2)<3－π<0，


显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1

且y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是增函数，


∴tan(2－π)

即tan 2




求y＝Atanωx＋φ的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－ eq \f(π,2)<ωx＋φ







3.(1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))的单调区间；


(2)比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))的大小．


[解](1)∵y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))单调区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，


∴kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(3π,4)

eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)

∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))的单调递增区间为


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,8)，\f(kπ,2)＋\f(5π,8)))(k∈Z)．


(2)由于taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(3π,4)))＝tan eq \f(3π,4)＝－tan eq \f(π,4)，


taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))＝－tan eq \f(2π,5)，又0

而y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，


所以tan eq \f(π,4)－tan eq \f(2π,5)，


即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5))).


【例4】 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．


[解] 由y＝|tan x|得，


y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，kπ≤x

其图像如图所示．





由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，


单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，


单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z)，周期为π.





1.作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：


(1)保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；


(2)将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．


2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．








4．设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，


(1)求函数f(x)的周期，对称中心；


(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．


[解](1)∵f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，


∴w＝eq \f(1,2)，周期T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π.


令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，


∴f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)．


(2)令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，则x＝eq \f(2π,3).


令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,3).


令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，则x＝－eq \f(π,3).





∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图像与x轴的一个交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq \f(π,3)，x＝eq \f(5π,3)，从而得函数f(x)＝taneq \f(x,2)－eq \f(π,3)在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图(如图)．





1.对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明


(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).


(2)当ω>0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是eq \f(π,ω).


2.“三点两线法”作正切曲线的简图


(1)“三点”分别为(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)和直线x＝kπ－eq \f(π,2)，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．


(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．


3.解答正切函数图像与性质问题应注意的两点


(1)对称性：正切函数图像的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，不存在对称轴．


(2)单调性：正切函数在每个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.





1.函数y＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)≤x≤\f(π,4)且x≠0))的值域是( )


A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]


C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)


B [根据函数的单调性可得．]


2.直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )


A．π B．eq \f(2π,ω) C．eq \f(π,ω) D．eq \f(π,2ω)


C [直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为eq \f(π,ω).]


3.函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是________，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) eq \r(3) [由题意知x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


即x≠eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)．


故定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，


且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq \r(3).]


4．求下列函数的定义域：


(1)y＝eq \f(1,1＋tan x)；


(2)y＝lg(eq \r(3)－tan x)．


[解](1)要使函数y＝eq \f(1,1＋tan x)有意义，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))


所以函数的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ－\f(π,4)，x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).


(2)要使函数有意义，则eq \r(3)－tan x>0，所以tan x

又因为tan x＝eq \r(3)时，x＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，


根据正切函数图像(图略)，


得kπ－eq \f(π,2)

学 习 目 标
核 心 素 养
1.能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质．(重点)


2.掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．(重点、难点)
1.通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养．


2.借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.
解析式
y＝tan x
图像
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) k∈Z 内都是增函数
正切函数的定义域、值域问题
正切函数的奇偶性、周期性
正切函数的单调性
正切函数的图像及应用