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    高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广优质导学案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广优质导学案,共3页。

    7.1 任意角的概念与弧度制

    7.1.1 角的推广

    学 习 目 标

    核 心 素 养

    1.了解角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角.(一般)

    2.理解象限角的概念.(重点)

    3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角所在的位置.(难点)

    1.通过角的概念的学习,体现了数学抽象核心素养.

    2.借助终边相同角的求解、象限角的判断等,培养学生的直观想象核心素养.

    1.角的概念

    (1)角:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角.这两条射线分别称为角的始边终边.由于是旋转生成的,也称为转角

    (2)角的分类:

    按旋转方向可将角分为如下三类:

    类型

    定义

    图示

    正角

    逆时针方向旋转而形成的角

    负角

    顺时针方向旋转而形成的角

    零角

    一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角

    2.角的加减法运算

    引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即αβ可以化为α(β).这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的

    3.象限角

    角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

    4终边相同的角

    所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α整数个周角的和.

    思考:终边和始边重合的角一定是零角吗?

    [提示] 不一定.零角是终边和始边重合的角,但终边和始边重合的角不一定是零角,如-360°360°720°等角的终边和始边也重合.

    1.钟表的分针在一个半小时内转了(  )

    A180°   B.-180°   C540°   D.-540°

    D [钟表的分针是顺时针转动,每转一周,转过-360°,当分针转过一个半小时时,它转了-540°.]

    2.下列各角中,与330°角的终边相同的角是(  )

    A510°    B150°   C.-150°  D.-390°

    D [330°终边相同的角的集合为S{β|β330°k·360°kZ},当k=-2时,β330°720°=-390°,故选D]

    3.下列说法:

    第一象限角一定不是负角;

    第二象限角大于第一象限角;

    第二象限角是钝角;

    小于180°的角是钝角、直角或锐角.

    其中错误的序号为________(把错误的序号都写上)

    ①②③④ [由象限角定义可知①②③④都不正确.]

    任意角的概念

    1(1)已知集合A{第一象限角}B{锐角}C{小于90°的角},则下面关系正确的是(  )

    AABC   BAC

    C(AC)B D(BC)C

    (2)A{θ|θ为锐角}B{θ|θ为小于90°的角}C{θ|θ为第一象限的角}D{θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是(  )

    AAB BBC

    CAC     DAD

    [思路探究] 利用角的概念进行判断.

    (1)D(2)D  [(1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°90°kZ;锐角可表示为0°<β<90°;小于90°的角可表示为γ<90°;由三者之间的关系可知,选D

    (2)直接根据角的分类进行求解,容易得到答案.]

    1.判断角的概念问题的关键与技巧:

    (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.

    (2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.

    2.360°范围内找与给定角终边相同的角的方法:

    (1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°β的形式(其中β<360°kZ),其中的β就是所求的角.

    (2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到要求为止.

    1.有下列说法:

    相差360°整数倍的两个角,其终边不一定相同;

    终边相同的角一定相等;

    终边关于x轴对称的两个角αβ之和为k·360°(kZ)

    其中正确说法的序号是________

     [不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍,反之也成立;

    不正确.由可知终边相同的两个角一定相差k·360°(kZ)

    正确.因为终边关于x轴对称的两个角,当α(180°180°),且β(180°180°)αβ,当αβ为任意角时,αβk·360°(kZ)]

    象限角与区域角的表示

    2(1)如图,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(  )

    A{α|k·360°30°<α<k·360°45°kZ}

    B{α|k·180°150°<α<k·180°225°kZ}

    C{α|k·360°150°<α<k·360°225°kZ}

    D{α|k·360°30°<α<k·180°45°kZ}

    (2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角β的取值范围.

    [思路探究] 

    (1)C [360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°,所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°150°<α<k·360°225°kZ}]

    (2)[] 阴影在x轴上方部分的角的集合为:

    A{β|k·360°60°β<k·360°105°kZ}

    阴影在x轴下方部分的角的集合为:B{β|k·360°240°β<k·360°285°kZ}

    所以阴影部分内角β的取值范围是AB,即{β|k·360°60°β<k·360°105°kZ}{β|k·360°240°β<k·360°285°kZ}

    其中B可以化为:{β|k·360°180°60°β<k·360°180°105°kZ}

    {β|(2k1)·180°60°β<(2k1)·180°105°kZ}

    集合A可以化为:{β|2k·180°60°β<2k·180°105°kZ}

    AB可化为{β|n·180°60°β<n·180°105°nZ}

    表示区间角的三个步骤:

    第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;

    第二步:按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的-360°360°范围内的角αβ,写出最简区间{x|α<x<β},其中βα<360°

    第三步:扇形区域起始、终止边界对应角αβ再加上k·360°,即得区间角集合.对顶区域,始边、终边再加上k·180°即得区间角集合.(kZ)

    2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.

    [] 在-180°180°内落在阴影部分角集合为大于-45°小于45°,所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|45°k·360°<α<45°k·360°kZ}.

    所在象限的判定方法及角的终边对称问题

    [探究问题]

    1.α所在象限如何求(kN*)所在象限?

    [提示](1)代数推导法:先表示为角α所在的象限范围,再求出所在的范围,进一步由k值确定.如:当角α在第二象限时,90°k·360°<α<180°k·360°kZ,则30°k·120°<<60°k·120°kZ,所以在第一、二、四象限.

    (2)等分象限法:将各象限k等分,从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4,循环下去,直到填满为止,则当α在第n象限时,就在n号区域.例如:当角α在第二象限时,在图k2时的2号区域,在图k3时的2号区域.但此规律有局限性,如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了,所以还应该掌握求范围的一般方法.

    2.若角αβ的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称,则角αβ分别具有怎样的关系?

    [提示](1)关于y轴对称:若角αβ的终边关于y轴对称,则角αβ的关系是β180°αk·360°kZ.

    (2)关于x轴对称:若角αβ的终边关于x轴对称,则角αβ的关系是β=-αk·360°kZ.

    (3)关于原点对称:若角αβ的终边关于原点对称,则角αβ的关系是β180°αk·360°kZ.

    (4)关于直线yx对称:若角αβ的终边关于直线yx对称,则角αβ的关系是β=-α90°k·360°kZ.

    3(1)α是第四象限角,则180°α(  )

    A.第一象限角 B.第二象限角

    C.第三象限角 D.第四象限角

    (2)已知α为第二象限角,则2α分别是第几象限角?

    [思路探究](1)可通过写出α的取值范围,逐步求得180°α范围来求解;

    (2)α范围写出2α的范围后,直接求得2α的范围,然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置.

    (1)C [因为α是第四象限角,则角α应满足:

    k·360°90°<α<k·360°kZ

    所以-k·360°<α<k·360°90°

    则-k·360°180°<180°α<k·360°90°180°kZ

    k0时,180°<180°α<270°

    180°α为第三象限角.]

    (2)[] α是第二象限角,

    90°k·360°<α<180°k·360°kZ

    180°2k·360°<2α<360°2k·360°kZ

    2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角.

    同理45°·360°<<90°·360°.

    k为偶数时,不妨令k2nnZ,则45°n·360°<<90°n·360°,此时,为第一象限角;

    k为奇数时,令k2n1nZ,则225°n·360°<<270°n·360°,此时,为第三象限角.

    为第一或第三象限角.

    (变结论)本例(2)中条件不变,试判断是第几象限角?

    [] α是第二象限角,

    90°k·360°<α<180°k·360°kZ

    30°k·120°<<60°k·120°kZ.

    k3nnZ时,30°n·360°<<60°n·360°nZ,此时为第一象限角;

    k3n1nZ时,150°n·360°<<180°n·360°nZ,此时为第二象限角;

    k3n2nZ时,270°n·360°<<300°n·360°nZ,此时为第四象限角.

    为第一、第二或第四象限角.

    解决此类问题,要先确定α的范围,进一步确定出\f(α,n)的范围,再根据kn的关系进行讨论.

    1.终边在坐标轴上的角的集合表示

    α的终边位置

    α的集合表示

    x轴上

    {α|αk·180°kZ}

    y轴上

    {α|αk·180°90°kZ}

    在坐标轴上

    {α|αk·90°kZ}

    2.象限角的集合表示

    象限角

    象限角α的集合表示

    第一象限角

    {α|k·360°<α<k·360°90°kZ}

    第二象限角

    {α|k·360°90°<α<k·360°180°kZ}

    第三象限角

    {α|k·360°180°<α<k·360°270°kZ}

    第四象限角

    {α|k·360°270°<α<k·360°360°kZ}

    3.对终边相同的角的说明

    所有与角α终边相同的角,连同角α在内(而且只有这样的角),可以用式子αk·360°kZ表示.在运用时,需注意以下三点:

    k是整数,这个条件不能漏掉.

    α是任意角.

    k·360°α之间用号连接,如k·360°30°应看成k·360°(30°)(kZ).

    1.以下说法正确的是(  )

    A.若α是第一象限角,则2α是第二象限角

    BA{α|αk·180°kZ}B{β|βk·90°kZ},则AB

    C.若k·360°<α<k·360°180°(kZ),则α为第一或第二象限角

    D.终边在x轴上的角可表示为k·360°(kZ)

    B [对于选项B:集合A{α|αk·180°kZ}{α|α2k·90°kZ}B{β|βk·90°kZ}AB,故选B]

    2.已知集合M{x|xk·90°45°kZ},集合N{x|xk·45°90°kZ},则有(  )

    AMN  BNM

    CMN DMN

    C [由于k·90°(kZ)表示终边在x轴或y轴上的角,所以k·90°45°(kZ)表示终边落在yxy=-x上的角.(如图(1))

    又由于k·45°90°(kZ)表示终边落在x轴、y轴、直线y±x 8个位置上的角(如图(2)),因而MN,故正确答案为C]

    3.若角α与角β终边相同,则αβ________.

    k·360°(kZ) [根据终边相同角的定义可知:

    αβk·360°(kZ)]

    4.在360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角.

    (1)120°(2)640°.

    [](1)与-120°终边相同的角的集合为M{β|β=-120°k·360°kZ}

    k1时,β=-120°1×360°240°360°范围内,与-120°终边相同的角是240°,它是第三象限的角.

    (2)640°终边相同的角的集合为M{β|β640°k·360°kZ}

    k=-1时,β640°360°280°360°范围内,与640°终边相同的角为280°,它是第四象限的角.

     

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