必修第三册综合测评

全书综合测评

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知向量a=(cos 75°,sin 75°),b=(cos 15°,sin 15°),则|a-b|的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.        B.1      C.2       D.3

2.若cos x=-,且<x<π,则tan x+sin x的值是(　　)

A.-     B.-      C.       D.

3.已知A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)的值为(　　)

A.1        B.2      C.-2       D.不确定

4.若角α的终边经过点(2,-1),则tan的值为(　　)

A.-      B.      C.-         D.

5.每一个音都是纯音合成的,纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数(振幅、频率)有关.我们听到的声音是许多音的结合,称为复合音.若一个复合音的函数是y=sin 4x+sin 6x,则该复合音的周期为(　　)

A.      B.π       C.        D.

6.如图,以正方形的各边为底向外作四个腰长为1的等腰三角形,则阴影部分面积的最大值是(　　)

A.2+2        B.4

C.+2        D.2

7.若e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=e2-2e1的夹角的余弦值是(　　)

A.-       B.      C.       D.-

8.将函数y=sin 2x-cos 2x的图像向右平移个单位后,得到函数f(x)的图像,则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A.,k∈Z           B.,k∈Z

C.,k∈Z         D.,k∈Z

9.已知ω>0,函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)在上单调递减,则实数ω的取值范围是(　　)

A.      B.       C.      D.(0,2]

10.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,M是BC的中点,连接AM,作BN⊥AM,交AM的延长线于点N,则向量在向量上的投影的数量为(　　)

A.-        B.-        C.       D.

二、多项选择题(本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

11.给出下列四个说法,其中正确的是(　　)

A.函数y=tan x的图像关于点,k∈Z对称

B.函数f(x)=sin |x|是最小正周期为π的周期函数

C.设θ为第二象限角,则tan>cos,且sin>cos

D.函数y=cos2x+sin x的最小值为-1

12.若函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-m在上有零点,则m的取值可能为(　　)

A.1          B.+2     C.        D.5

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.计算:=　　　　. 

14.设向量a=(3,3),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=　　　　. 

15.给出下列命题:

①存在实数x,使得cos x+sin x=成立;②若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角;③若α,β是锐角三角形ABC的内角,则sin α>cos β;

④函数y=4sin,x∈R的图像的一个对称中心为.

其中正确的命题的序号是　　　　. 

16.如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,且l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与△ABC两边相交于E,D两点.设的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图像大致是　　　　(填序号). 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知角α终边上的一点P(7m,-3m)(m≠0).

(1)求的值;

(2)求2+sin αcos α-cos2α的值.

18.(12分)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,=2λ,=λ,连接EF,交AC于点D.

(1)当λ=时,设=a,=b,用向量a,b表示;

(2)当λ为何值时,·取得最大值?并求出最大值.

19.(12分)设函数f(x)=sin.

(1)若f=,且α∈,求tan α的值;

(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像(完成列表并作图).

①列表.

②描点,连线.

20.(12分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,再将所得的图像上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数y=g(x)在上的值域.

21.(12分)已知向量a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),且 f(x)=a·b.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)若x∈,a·b=-,求cos 2x的值.

22.(12分)设有三个乡镇,分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及PQ的中点S处,MN=10 km,NP=5 km,现要在该矩形的区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为L km.

(1)设∠OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域;

(2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和最小.

答案全解全析

一、单项选择题

1.B　如图,将向量a,b的起点都移到原点,

令a=,b=,则|a-b|=||.

∵∠xOA=75°,∠xOB=15°,

∴∠AOB=60°.

又|a|=|b|=1,∴△AOB为正三角形,

∴|a-b|=||=1.

2.B　因为cos x=-,且<x<π,

所以sin x==,

所以tan x==-,

所以tan x+sin x=-+=-.

3.   B　(1+tan A)(1+tan B)=1+tan A+tan B+tan Atan B=1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+

tan Atan B=1+1-tan Atan B+tan Atan B=2.

4.D　由已知得tan α=-,

∴tan===.

故选D.

5.B　y1=sin 4x的周期是,y2=sin 6x的周期是,所以y=y1+y2的周期应为π.

6.A　设等腰三角形的底角为θ,则等腰三角形的底边长为2cos θ,高为sin θ,

阴影部分的面积为4××2cos θ×sin θ+(2cos θ)2=2sin 2θ+2cos 2θ+2=2sin+2,当θ=时,阴影部分的面积最大,最大值为2+2.

7.A　设θ为a,b的夹角,∴cos θ=

===-.

8.A　y=2=2sin,

将函数的图像向右平移个单位后,得f(x)=2sin=-2cos 2x的图像,

令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,

即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.故选A.

9.A　因为f(x)=(sin ωx+cos ωx),所以f(x)=sin.

解法一:观察选项,取ω=1,则f(x)=sin在上单调递减,所以ω可以取1,故排除选项B,C;再取ω=2,则f(x)=sin在上不单调,故ω≠2,故排除D.故选A.

解法二:因为ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,

所以T=≥2,得0<ω≤2.

又+<ωx+<ωπ+,

所以解得≤ω≤.

故选A.

10.D　以A为原点,AC所在直线为x轴,AC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图.

作CD⊥AN交AN于点D,

因为M是BC的中点,N在直线AM上,且BN⊥AM,

所以BN∥DC,由三角形全等可知DC=NB,所以 =.

因为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,

所以可得B,,C(2,0),

所以点M的坐标为,.

设∠NAC=α,则tan α==.

因为sin2α+cos2α=1,

所以sin α=,cos α=,

所以||=||=ACsin α=,

所以向量在向量上的投影的数量为

||cos(90°-α)=||sin α

=×=.故选D.

二、多项选择题

11.AD　,k∈Z是正切函数图像的对称中心,∴A中说法正确;

f(x)=sin |x|不是周期函数,∴B中说法错误;

易知∈,k∈Z,当k=2n+1,n∈Z时,sin<cos,∴C中说法错误;

∵y=1-sin2x+sin x=-+,

∴当sin x=-1时,ymin=-1,∴D中说法正确.故选AD.

12.ABC　f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-m=1+sin 2x+1+cos 2x-m=sin2x++2-m,当x∈0,时,2x+∈,,所以sin2x+∈-,1,

所以f(x)∈[1-m,+2-m],

要使f(x)在0,上有零点,需要满足所以1≤m≤+2.故1,+2,符合要求,故选ABC.

三、填空题

13.答案　

解析　原式===.

14.答案　±3

解析　因为a+λb=(3+λ,3-λ),

a-λb=(3-λ,3+λ),(a+λb)⊥(a-λb),

所以(a+λb)·(a-λb)=(3+λ)·(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0,解得λ=±3.

15.答案　①③④

解析　对于①,∵sin x+cos x

=sin∈[-,],

而∈[-,],故①正确.对于②,若cos θ=-1<0,θ=2kπ+π,k∈Z,但θ不是第二、三象限角,故②错误.对于③,∵△ABC是锐角三角形,∴α>-β.

又∵y=sin α在0,上是增函数,∴sin α>sin-β=cos β,故③正确.对于④,令2x+=kπ,k∈Z,则x=-,k∈Z.

∴y=4sin,x∈R的图像的对称中心为-,0,k∈Z.

令k=0,则- ,0是函数

y=4sin2x+,x∈R的图像的一个对称中心,故④正确.

16.答案　④

解析　如图所示,连接OF,OG,过点O作OM⊥FG,交FG于点M,过点A作AH⊥BC,交BC于点H,交DE于点N.因为的长为x,所以∠FOG=x,则AN=OM=cos ,所以==cos ,则AE=cos ,所以CD=EB=-×cos .

所以y=EB+BC+CD

=-cos +

=-cos +2(0<x<π).

故由余弦函数图像的特征知选④.

四、解答题

17.解析　依题意有tan α=-.

(1)原式==tan α=-.

(2)原式=2+=2+=2-=.

18.解析　(1)由题意可知=b,=a,

∴=-=-a+b.

(2)由题意得,||=3λ,||=3-3λ,

||=6λ,||=6λ-3,

∴·=(6λ-3)(3-3λ)cos 60°=-9λ2+λ-

=-9+,

当λ=∈时,·取得最大值,最大值为.

19.解析　(1)∵f(x)=sin,

∴f+=sin α=.

∵α∈-,,

∴cos α=,∴tan α=.

(2)①列表.

②描点,连线.

函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像如下图所示.

20.解析　(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-=sin 2x+cos 2x=2sin,

令2kπ+≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

解得kπ+≤x≤+kπ,k∈Z,

所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).

(2)由(1)知,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,可得y=2sin的图像,

再将所得的图像上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=2sin的图像,

∵x∈,∴4x+∈,∴sin∈,

∴函数y=g(x)在上的值域为(-1,2].

21.解析　(1)∵f(x)=a·b=sin xcos x-cos2x=sin 2x-=sin-,

∴f(x)的最小正周期是π.

令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)∵a·b=sin-=-,∴sin=-.

∵x∈,∴2x-∈,∴cos=-.

∴cos 2x=cos

=coscos-sinsin=-×-×=.

22.解析　(1)过点O作OT⊥MN,交MN于点T(图略),则T为MN的中点,

∴MT=MN=5,

∴OM=ON=,OT=5tan x,OS=5-OT=5-5tan x,

∴L=OM+ON+OS=+5-5tan x0≤x≤.

(2)由(1)知,L=5,∴L=+5,

令t=,0≤x≤,则tcos x+sin x=2,

∴sin(x+φ)=2(tan φ=t),

由sin(x+φ)=≤1得,t≥或t≤-(舍去),

当t=时,φ=,x=∈,L取最小值,

即宣讲站位置O满足:x=,MO=NO=10 km,OS=(5-5)km时,可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小.