【同步讲义】人教版数学八年级上册-提高练【11.2 与三角形有关的角】 讲义

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第11章《三角形》

11.2 与三角形有关的角

知识点1：三角形内角和定理

【典例分析01】（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝　10°　．

解：由三角形的外角性质知：∠HED＝∠AEC＝∠B+∠BAC，

故∠B+∠BAC+∠EDH＝90°  ①，

△ABC中，由三角形内角和定理得：

∠B+∠BAC+∠C＝180°，

即：∠C+∠B+∠BAC＝90°  ②，

②﹣①，得：∠EDH＝（∠C﹣∠B）＝×（50°﹣30°）＝10°．

故答案为：10°．

【变式训练1-1】（2022•文山市模拟）如图，在△ABC中，D为BC的延长线上一点，若∠B＝70°，∠1＝110°，则∠A＝（　　）

A．35° B．40° C．55° D．70°

【变式训练1-2】（2022春•锡山区期中）△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2⋯∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022为（　　）

A． B． C． D．

【变式训练1-3】（2021秋•开州区期末）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A、B均落在O处，且EA与EB重合于线段EO，测得∠C＝42°，则∠CDO+∠CFO＝　      　度．

【变式训练1-4】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．

（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；

（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．

【变式训练1-5】（2021秋•集贤县期末）在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD＝∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．

知识点2：三角形的外角性质

【典例分析02】（2022•东明县二模）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝20°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．110°

解：∵∠CAD是△ABC的外角，

∴∠CAD＝∠B+∠C，

∵∠B＝40°，∠C＝20°，

∴∠CAD＝60°，

故选：A．

【变式训练2-1】（2021秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，△ABC的内角∠CAB和外角∠CBD的角平分线交于点P，已知∠APB＝42°，则∠C的度数为 　      ．

【变式训练2-2】（2021秋•滑县期末）将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（　　）

A．105° B．95° C．85° D．75°

【变式训练2-3】（2021秋•上思县期末）将一副三角尺按如图方式进行摆放，则∠1的度数为        ．

【变式训练2-4】（2021秋•海州区期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝        　°；

（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝　　（用α表示∠BEC）；

（3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．

【变式训练2-5】（2021秋•讷河市期中）在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D

（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数．

（2）由（1）小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明．

知识点3：直角三角形的性质

【典例分析03】（2013秋•淮南校级期中）如图，已知：BD，CE是△ABC的两条高．

（1）求证：∠ABD＝∠ACE；

（2）若AB＝AC，求证：DE∥BC．

证明：（1）∵BD，CE是△ABC的两条高，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ACE＝90°，∠A+∠ABD＝90°，

∴∠ABD＝∠ACE；

（2）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB．

在△BDC与△CEB中，

，

∴△BDC≌△CEB（AAS），

∴BE＝CD，

∵AB＝AC，

∴AE＝AD，

∴∠AED＝∠ADE，

∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠AED＝∠ABC，

∴DE∥BC．

【变式训练3-1】（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（　　）

A．34° B．44° C．124° D．134°

【变式训练3-2】（2021秋•富川县期末）在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（　　）

A．26° B．34° C．36° D．44°

【变式训练3-3】（2021秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）

A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC 

B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC 

C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° 

D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°

【变式训练3-4】．（2019秋•德清县期末）如果直角三角形的一个内角为40°，则这个直角三角形的另一个锐角为　      　．

18．（2019春•南岸区校级期末）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为       　．

【变式训练3-5】（2021春•安宁市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝     ．

【变式训练3-6】（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．

解决问题：

（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．

（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．