1.2与三角形有关的角（学生版） 学案

与三角形有关的角

课首沟通

回顾上次课的知识点；询问学生的学习进度。

知识导图

课首小测

1. 
   [单选题]  如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（ ）．

A．AC是△ABC和△ABE的高 B．DE，DC都是 △BCD的高

C．DE是△DBE和△ABE的高 D．AD，CD都是 △ACD的高

2. 
   [单选题] 如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm ，则△ABM的面积为（ ）．

A．8cm B．4cm C．2cm D．以上答案都不对

3. [单选题] 现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取

（ ）．

A．10cm的木棒 B．50cm的木棒 C．100cm的木棒 D．110cm的木棒

导学一 ： 三角形的内角和定理

知识点讲解 1：直接利用内角和定理进行角度计算

例 1. 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

例 2. [单选题] 如图，直线∥ ， ∠1=40°，∠2=65°，则∠3=（ ）

A．65° B．70° C．75° D．85°

例 3. 在 中， ，高BD、CE所在直线交于点 ，且点 不与点 、 重合，则 =     ．

例 4. 如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

例 5. 如图所示，已知 ， ， ，求 度数．

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1. 在△ABC中，若∠B=50°，∠A=∠C，则∠A=           ．

2. 在△ABC中∠C＝90°CD⊥AB，∠B＝50°.则∠DCA＝      .

3. △ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°,AD平分∠BAC，则∠DAC＝      .

4. 
   如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=            ．

5. 已知△ABC中，∠B=∠C，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠BDC=            °．

6. 
   如图，△ABC中，AD是角平分线，∠B= 45°，∠C= 63°，DE∥AC，求∠ADE。

7. 
   如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为          .

8. 如图，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E、F，点G在直线EF上，GH⊥AB，若∠EGH=32°，则∠DFE的度数为

         .

知识点讲解 2：内角和与方程思想的结合运用

例 1. 若∠A＝30°，∠B∶∠C＝3∶2，则∠B＝     .

例 2. 在直角三角形中，两锐角之差为20°，则这两个锐角的度数分别为           .

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1. （1）∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°, 则∠B=    °；

（2）∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=    °.

2.   [单选题] 已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的 ,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75°              B.48°,72°,60°              C.48°,32°,38°              D.40°,50°,90°

3. [单选题] 已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )

A.100° B.120° C.140° D.160°

4. 三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是

       .

5. [单选题] 在△ABC中,∠A=∠B= ∠C,则此三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

6. [单选题] 下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 （ ）

A.∠A＋∠B＝∠C B.∠A＋∠B＝90° C.∠A－∠B＝∠C D.∠A＝2∠B＝5∠C

知识点讲解 3：内角和与整体思想的结合运用

例 1. 如图，一个顶角为 的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则      °

例 2. 已 知△ ，

①如图1，若  点是的角平分线的交点，请说明 ；

②如图2 ，若 点是 的角平分线的交点,你能说明∠P= ∠A吗?

③如图3，若  点是外角的角平分线的交点，你能说明 吗?

例 3. （1）如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？

（2）把图①△ABC沿DE折叠得到图 ②，填空：∠1+∠2   ∠B+∠C（填＞＜=），当∠A=40°时，

∠1+∠2+∠B+∠C=   ．

（3）如图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系，并说明理由．

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1. 如图,△ABC,∠A=40°,则:(1)∠1+∠2+∠B+∠C=      °； (2)∠3+∠4=      °.

2. 
   如图,已知△ABC中,∠A=40°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,∠O=          .

3. 
   如图所示，将 沿着 翻折，若 ，则       ．

4.      如图，将左图中三角形ABC沿着一条与BC平行的直线DE折叠后，得到右图．若∠C=120°，∠A=20°，则∠A′DB的度 数是               ．

知识点讲解 4：内角和与转化思想的结合运用

例 1. 如 图，     ．

例 2. 如图所示， =    ．

例 3. 如图，                      ．

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1. 如下图，求      ．

2. 如图，求 =      ．

3. 如图，求       ．

导学二 ： 三角形的外角及性质

知识点讲解 1：利用外角的性质进行角度计算

1、三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角， 其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．

2、三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非 个外角之和)． 三角形的外角和等于 ．

3、三角形外角的性质:

（1）  三角形的一个外角与相邻的内角互补;

（2）  三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;

（3） 
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.

例 1. 如图所示，则α=       °．

例 2. 如图，△ABC中，∠1=∠A，∠2=∠C，∠ABC=∠C，求∠ADB的度数.

例 3. （1）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=      ；

（2）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=      ．

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1. 
   如图所示，直线a∥b，则∠A=       °.

2. 若△ABC的三个内角度数之比为2∶3∶4，则相应的外角度数之比为              .

3. [单选题]  三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( ).

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

4. [单选题]  在△ABC中,∠A、∠B的外角分别是120°、150°,则∠C=( ).

A.120° B.150° C.60° D.90°

5. [单选题] 如图,∠1=∠2，∠3=∠4,则∠5是∠1的( ).

A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍

6. [单选题] 如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE=( ).

A.120° B.115° C.110° D.105°

7. 三角形的三个外角中，最多有         个锐角．

8. 如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225º，则与这个外角相邻的内角是         度．

9. 
   （2015年广州市天河区期末） 如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A=40°，∠C=60°，则∠CBD=    ．

10. 已知等腰三角形的一个外角为150º，则它的底角为        ．

知识点讲解 2：利用外角的性质探究角的关系

例 1. 如图，AC、BD相交于点O，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，且交于点P

(1)若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度数.

(2)试探索∠P与∠A、∠D间的数量关系.

例 2. 如图，△ABC中，角平分线AD 、BE 、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，试说明∠AHE＝∠CHG

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1. 
   如图所示，D是△ABC中AC边上一点，E是BD上一点，则∠1、∠2、∠A之间的大小关系是                   .

2. 如图，已知 ，求证： ．

导学三 ： 三角形的内角外角的综合运用

例 1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC，∠B=80°，∠C=46°.

（1）  你会求∠DAE的度数吗？

（2）  你能发现∠DAE与∠B、∠C的度数有什么关系吗？

（3） 
若只知道∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE的度数吗？

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1. （2015年广州市海珠区期末） 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC上一点，且∠DAB=45°

（1）  求：∠DAC的度数．

（2） 
证明：△ACD是等腰三角形．

2. 如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．

（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．

（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变 化，求出∠F．

限时考场模拟 ：________分钟完成

1. [单选题] 下列说法中，正确的是 （ ）

A．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 B．三角形的一个外角小于它的一个内角

C．三角形的一个外角与它相邻的内角是邻补角 D．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角

2. [单选题] 三角形的每一个顶点处取一个外角，则三角形的三个外角中，钝角的个数至少有（ ）

A．0个 B．2个 C．3个 D．4个

3. [单选题] （2016年广州市南沙区珠江中学期中） 如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，

∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）

A．20° B．30° C．10° D．15°

4. 
   如图，AC⊥DE，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠B与∠ACB的度数．

5. 
   如图，△ABC中，∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB，CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,求∠CDF的度数．

6. [单选题] （2016年广州市白云区期末） 如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，AB=BD，下列结论中，正确的是

（ ）

A. ∠1=∠2 B. ∠1+3∠2=180° C.2∠1+∠2=180° D.3∠1-∠2=180°

课后作业

1. 
   如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D=           度．

2. 
   [单选题]  一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）

A．90° B．100° C．130° D．180°

3. 
   [单选题] 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50 °，则∠D=（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

4. 
   如图， 已知△ABC的AC边的延长线AD∥EF，若∠A=6 0°，∠B=43°，求∠E的大小．

5. [单选题] （2015年广州市番禺六校联考） 如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（ ）

A．∠A=∠1+∠2 B．∠A=  （∠1+∠2） C．∠A=  （∠1+∠2） D．∠A= （∠1+∠2）

6. （2015年广州市越秀区期末） 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求

∠EAD的度数．

1. 认真完成课后作业，及时回顾错题并收集分析。
2. 总结本次课学习的几种数学思想与解题方法。