【同步讲义】人教版数学八年级上册-提高练【11.1 与三角形有关的线段】 讲义

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第11章《三角形》

11.1 与三角形有关的线段

知识点1：三角形

【典例分析01】（2019秋•苍南县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，作AE∥DC，交BC的延长线于点E，则△ACE是　等边　三角形．

解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120°

∴∠1＝∠2＝＝60°

∵AE∥DC

∴∠3＝∠2＝60°，∠E＝∠1＝60°

∴∠3＝∠4＝∠E＝60°

∴△ACE是等边三角形．

故答案是：等边．

【变式训练1-1】（2022春•建邺区校级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形，

故选：D．

【变式训练1-2】（2022•迁安市一模）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；

故选：B．

【变式训练1-3】（2016秋•东方期末）图中有　6　 个三角形．

解：如图底边上有4个点，组成的线段的数量为：3+2+1＝6（条），

所以三角形的个数为6个

答：图中有6个三角形．

故答案为：6．

【变式训练1-4】（2021秋•梁溪区期中）（1）如图1，图中共有三角形 　10　个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 　24　个；

（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．

解：（1）如图1，给每个小三角形分别标上序号，

∴单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小三角形组成的三角形有1个，

∴图1中的三角形共有4+3+2+1＝10（个），

由图1可知，顶点与直线l之间的三角形中有10个三角形，大三角形中有10个较小的三角形，

其中，图中2还有4个单独的小三角形，

∴图2中的三角形共有10+10+4＝24（个），

故答案为：10，24．

（2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计3×10+4×（1+2）＝42个，

∵增加0条线时，三角形的个数为10个，

增加1条线时，三角形的个数为24个，24＝2×10+4，

增加2条线时，三角形的个数为42个，38＝3×10+4×（1+2），•••

∴增加10条线时，三角形的个数为11×10+4×（1+2+•••10）＝330个．

【变式训练1-5】（2015秋•广元校级期中）如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．

解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．

知识点2：三角形的角平分线、中线和高

【典例分析02】（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　）

A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm

解：过点A作AD⊥BC于D，

用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，

故选：D．

【变式训练2-1】（2022春•射洪市期中）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　）

A．17 B．23 C．25 D．28

解：∵BD是AC边上的中线，

∴AD＝CD，

∵△BCD的周长为20，BC＝8，

∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12，

∴CD+BD＝AD+BD＝12，

∵AB＝5，

∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝5+12＝17．

故选：A．

【变式训练2-2】（2019秋•尚志市期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为 　2　cm．

解：∵BD是△ABC的中线，

∴AD＝CD，

∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm．

故答案为：2．

【变式训练2-3】（2022春•徐州期中）如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．

（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．

（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．

解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，

∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，

又∵BD平分∠EBC，

∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，

又∵AD⊥BD，

∴∠BDA＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；

（2）DO是△DEG的角平分线，

理由：∵EF∥BC，DG∥AB，

∴四边形BGDE是平行四边形，

∵EF∥BC，

∴∠EDB＝∠DBG，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD＝∠GBD，

∴∠EBD＝∠EDB，

∴EB＝ED，

∴四边形BGDE是菱形，

∴BD平分∠EDG，

∴DO是△DEG的角平分线．

【变式训练2-4】（2021秋•河口县期末）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．

解：如图，∵DB为△ABC的中线

∴AD＝CD，

设AD＝CD＝x，则AB＝2x，

当x+2x＝12，解得x＝4，

BC+x＝15，解得BC＝11，

此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；

当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，

此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．

知识点3：三角形的稳定性

【典例分析03】（2022春•坪山区校级期中）下列说法中，不正确的是（　　）

A．对顶角相等 

B．三角形具有稳定性 

C．平行于同一直线的两直线互相平行 

D．内错角相等

解：A、对顶角相等，本说法正确，不符合题意；

B、三角形具有稳定性，本说法正确，不符合题意；

C、平行于同一直线的两直线互相平行，本说法正确，不符合题意；

D、两直线平行，内错角相等，故本说法错误，符合题意；

故选：D．

【变式训练3-1】（2021秋•北京期末）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（　　）

A．两点确定一条直线 

B．两点之间，线段最短 

C．三角形具有稳定性 

D．三角形的任意两边之和大于第三边

解：为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．

故选：C．

【变式训练3-2】（2021秋•公安县期末）空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 　稳定性　．

解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，

故答案为：稳定性．

【变式训练3-3】（2018秋•蕲春县期中）人站在公交车上，若两腿分开站立，还要用手抓紧栏杆才能站稳，这一现象是利用了　三角形的稳定性　．

解：分开两腿站立与地面成三角形形状，

利用了三角形的稳定性．

故答案为：三角形的稳定性．

【变式训练3-4】如图，由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的，请你再用三条钢管连接使之稳固（方法很多，请提供四种不同连接方法）

解：如图所示．

．

【变式训练3-5】．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？

解：如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．

知识点4：三角形三边关系

【典例分析04】（2022•海陵区二模）若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．9

解：由三角形三边关系定理得：6﹣2＜a＜6+2，

即4＜a＜8，

即符合的只有5，

故选：C．

【变式训练4-1】（2022•德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（　　）

A．1km B．2km C．3km D．8km

解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，

当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，

设李锐两家的直线距离为x，

根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，

杨冲，李锐两家的直线距离可能为3km，

故选：A．

【变式训练4-2】（2022春•滨海县月考）三角形的三边长为4，a，7，则a的取值范围是　3＜a＜11　．

解：∵三角形三边长为4，a，7，

∴a的取值范围是：3＜a＜11．

故答案为3＜a＜11．

【变式训练4-3】（2021秋•隆回县期中）现有两根木棒长度分别是2cm和10cm，要选择第三根木棒，将他钉成一个三角形，且使其周长为偶数，则第三根木棒的长度为 　10　cm．

解：设第三根木棒的长度为xcm，

∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，

∴10﹣2＜x＜10+2，

∴8＜x＜12，

∵三角形的周长为偶数，

∴x+2+10为偶数，

∴x为偶数，

∴x＝10，

即第三根木棒的长度为10cm，

故答案为：10．

【变式训练4-4】（2021•北碚区校级开学）在△ABC中，A，B，C为三边长，则化简下式（a+b）2﹣|a2+b2﹣c2﹣2ab|．

解：∵a，b，c为三边长，

∴a﹣b＜c．

∴（a﹣b）2＜c2．

∴（a+b）2﹣|a2+b2﹣c2﹣2ab|

＝（a+b）2﹣|（a﹣b）2﹣c2|

＝（a+b）2+（a﹣b）2﹣c2

＝a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2﹣c2

＝2a2+2b2﹣c2．

【变式训练4-5】（2021秋•寿县期中）若a、b、c是△ABC的三边，化简：|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|+3|a+b+c|的值．

解：∵a、b、c是△ABC的三边，

∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0，

∴原式＝a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）+3a+3b+3c

＝a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b+3a+3b+3c

＝2a+6c