人教版数学八上11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（课件+教案+学案+练习）

教学目标

1.通过观察、画、折、交流等实践操作过程，认识三角形的高、中线、角平分线；会画出任意三角形的高、中线、角平分线；通过画图、折纸了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线会交于一点.

2.在画、折等实践操作活动过程中，发展和培养学生的空间观念、推理能力及创新精神，提高用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.

3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心.

教学重点难点

重点：1.三条重要线段概念的理解.

2.探索三条重要线段分别交于一点，明确交点的位置.

3.利用“三线”的性质进行简单地推理证明.

难点：1.“三线”画法，特别是钝角三角形高线的画法.

2.“三线”性质的应用.

教学过程

导入新课

多媒体出示：如图1所示，在△ABC中，有一条红色线条，一端在顶点A处，另一端从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线（AE，AF，AD，…）中，有没有特殊位置的线条？你认为有哪些特殊位置？

师生活动

教师引导学生归纳.

①在这些线中，有一条线垂直于边BC.

②有一条线的一个端点是BC的中点.

③还有一条线平分∠BAC.

图1

学生通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线条：三角形的高、中线和角平分线.这三条线段是三角形的重要线段.这节课我们就来学习三角形的高、中线与角平分线（出示课题）.

探究新知

1.三角形的高

教师：在黑板上给出一个△ABC，请学生回忆怎样作出△ABC的高.

教师提问：（1）你用什么工具作出三角形的高？

（2）三角形有几条高？

（3）你能用折纸的方法作出三角形的高吗？

（4）用折纸的方法折出的高与你用三角尺画出的高一致吗？

（5）你发现三角形的三条高有何特点？

学生活动

学生利用已准备好的其中一个三角形纸片，边折纸边思考以上问题.

引导学生在动手操作的同时进行归纳：

（1）高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

三角形的高有三条，三条高的交点在什么位置？

学生活动

找三名学生板演，其余学生动手画出三种三角形的三条高.如图2所示.

　　    　①　   　      　  ②　                     　③

图2

教师和学生一起归纳：

①锐角三角形三条高的交点在三角形内部；②钝角三角形三条高的延长线的交点在三角形外部；③直角三角形三条高的交点在直角顶点上.直角三角形的两直角边也是三角形的两条高线.

注意：三角形的高是线段.

（2）高的应用：

由定义可知：若AD是△ABC的高，则AD⊥BC.

2.三角形的中线

教师提出问题：（1）图1中的点D是不是BC的中点？

（2）什么是线段的中点呢？你有什么方法得到线段的中点呢？如何定义三角形的中线呢？

（3）三角形有几条中线？

（4）你发现三角形的三条中线有何特点？

学生活动

动手画、折三角形的中线，观察、猜想、验证，学生小组交流讨论.

①　　      　　　　　②

图3

在刚才折纸的基础上，教师引导学生归纳：

（1）中线的定义：连接三角形的一个顶点和它的对边中点，顶点和中点之间的线段叫做三角形的中线，如图3①.

（2）三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，如图3②所示.

（3）中线的应用：

由定义可知：若AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD＝CD＝BC，如图3①所示.

3.三角形的角平分线

在黑板上画一个△ABC，问学生如何画一个角的平分线，比如画∠A的平分线？并提问：

（1）三角形有几条角平分线？

（2）你发现三角形的三条角平分线有何特点？

学生活动

动手画、折三角形的角平分线，观察、猜想、验证，学生小组交流讨论.

图4　　　　　　　　　图5

在刚才折纸的基础上，教师引导学生归纳：

（1）角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（如图4）.

（2）三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部（如图5）.

（3）角平分线的应用：

∵ BE是△ABC的角平分线，

∴ ∠ABE＝∠CBE＝∠ABC.

∵ CF是△ABC的角平分线，

∴ ∠ACB＝2∠ACF＝2∠BCF.

交流与讨论：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？

学生活动

学生讨论后派代表回答：

三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线.

【注意】1.三角形的高、中线、角平分线都是线段.注意与线段的高线、中线，角的平分线的区别.

2.三角形的高、中线、角平分线各有三条，在叙述这“三线”时，语言描述要严谨，要明确高、中线是哪边上的，角平分线是哪个角的平分线.

新知应用

例1　（1）如图6，CD，BE是△ABC的角平分线，它们相交于点I，则

①∠ACD＝　　　　＝　　　 ∠ACB，∠ABC＝　　　　∠ABE.

②若∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝　　　　.

③画出△ABC的第三条角平分线.

图6　　　    　　　　　图7

（2）如图7，

①若AD是△ABC的中线，则BD＝　　　　＝ 　　　　BC，BC＝　　　　BD.

②若BD＝CD，则AD是△ABC的　　　　.

③若AD是△ABC的中线，则△ABD的面积与△ADC的面积有什么关系？

师生活动

学生先独立思考，然后同桌进行交流，教师巡视指导.

解：（1）①∠BCD　　2；②110°；③提示：连接AI，并延长交BC于点F，则AF就是第三条角平分线.

（2）①CD　　2；②中线；③相等.

例2　在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，求AC的长.

解：∵ AD为BC边的中线，∴ BD＝CD，∴ △ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）＝AB-AC.又∵

△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，∴ 8- AC＝3，解得AC＝5.

例3　如图8所示，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数.

解：∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，

∴ ∠DAC＝∠BAD＝30°.

∵ CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴ ∠B＝50°.

∴ ∠ADB＝180°-∠B-∠BAD＝180°-50°-30°＝100°.

图8

课堂小结

布置作业

教材第8页习题必做：第3，4题，选做：第8题.

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