数学必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集教学演示课件ppt

这是一份数学必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集教学演示课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了学习目标，知识点一等式的性质，课前预习，代数式，a+cb+c，a-cb-c，acbc，知识点二恒等式，任意实数，代数变形等内容，欢迎下载使用。

2.1.1　等式的性质与方程的解集
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　等式的性质的应用探究点二　化简、证明探究点三　十字相乘法的应用探究点四　方程的解集
1.熟练掌握等式的性质,会用等式性质解决恒等式问题,会求方程的解;2.了解恒等式,熟练掌握用“十字相乘法”分解因式;3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,求方程的解集.
1.等式的两边同时加上(减去)同一个　　　或　　　　,等式仍成立;符号语言:如果a=b,则对任意c,都有　　　　　或　　　　　　. 2.等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的　　　或　 　　　,等式仍成立. 符号语言:如果a=b,则对任意不为零的c,都有　　　　　或　　　　　. 
[解析] (1)等式3a-2=2b两边同加2,得3a=2b+2,所以正确.
[解析] (3)由a=b,b=c,可得a=c,两边同时乘d,得ad=cd,故正确.
(4)由x-2=4x+7,得x=-3.( 　 )(5)由a=b,得(a-c)n=(b-c)n,n∈N*.( 　 )
[解析] (4)等式x-2=4x+7两边同加2,得x=4x+9,两边同加-x,得0=3x+9,两边同加-9,得3x=-9,两边同除以3,得x=-3,所以正确.
[解析] (5)等式a=b两边都加-c,得a-c=b-c,两边同时乘(n-1)个(a-c)得(a-c)n=(b-c)(a-c)n-1,又因为a-c=b-c,所以(a-c)n=(b-c)n,故正确.
一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取　 　　　　时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行　 　　　的依据之一. 
x2+(a+b)x+ab
(a±b)(a2∓ab+b2)
①对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=　　　　　　　　; ②平方差公式:a2-b2=　　　　　　　　; ③完全平方公式:(a±b)2=　　　　　　　　; ④立方和、立方差公式:a3±b3=　　　　　　　　　　　. 
【诊断分析】 (1)化简x2-4x+4=　　　　　. (2)化简4x2-9y2=　 　　　　. (3)多项式27-a3分解因式的结果是　　 　　　. 
(2x+3y)(2x-3y)
(3-a)(9+3a+a2)
给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=　　　　且C=　　　　,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b),如图2-1-1所示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于　　　　,因此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 
1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的　　　　的值.一般地,把一个方程所有解组成的　　　称为这个方程的解集. 2.方程(x-x1)(x-x2)=0,当x1≠x2时解集为　　　　,当x1=x2时解集为　　　　. 
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程2x2+1=0的解集为{0}.(　 )(2)方程x2-5x+6=0的解集为{2,3}.(　 )
[解析] (2)由十字相乘法得x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,所以方程的解集为{2,3}.
探究点一　等式的性质的应用
[素养小结]在运用等式的性质时要注意:(1)等式两边都要参加运算,并且是作同一种运算;(2)等式两边加或减、乘或除以的一定是同一个数或同一个式子;(3)等式两边不能同除以0,即0不能作除数或分母.
例2 (1)化简下列各式.①(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1);②x2-(x-1)2.
解:(1)①方法一:原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2]=(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1.方法二:原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1.②方法一:原式=(x+x-1)(x-x+1)=2x-1.方法二:原式=x2-(x2-2x+1)=2x-1.
(2)证明下面各个公式.①三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac);②两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;③两数差立方公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
证明:①(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac).②(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.③(a-b)3=(a-b)2(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b)=a3-a2b-2a2b+2ab2+ab2-b3=a3-3a2b+3ab2-b3.
[素养小结]化简的步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”:(1)先看是否能提取公因式;(2)再看能否套用公式;(3)再检查因式分解是否彻底;(4)最后用多项式乘法检验分解是否正确.
例3 用十字相乘法分解因式.(1)x2-3x+2;(2)x2+4x-12;(3)x2-(a+b)xy+aby2(a,b为常数);(4)6x2+xy-2y2;(5)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.
探究点三　十字相乘法的应用
解:(1)由图①,得x2-3x+2=(x-1)(x-2).(2)由图②,得x2+4x-12=(x-2)(x+6).(3)由图③,得x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by).(4)由图④,得6x2+xy-2y2=(2x-y)(3x+2y).
变式 应用十字相乘法将下列各式进行因式分解.(1)x2+xy-6y2;(2)12x2-5x-2;(3)(x2+x)2-8(x2+x)+12;(4)5x2+6xy-8y2;(5)x2+(a+2)x+2a.
解:(1)x2+xy-6y2=x2+yx-6y2=(x+3y)(x-2y).(2)12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1).(3)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2)=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1).(4)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).(5)x2+(a+2)x+2a=(x+a)(x+2).
[素养小结]用十字相乘法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的步骤:(1)分解二次项系数a=a1a2,分解常数项c=c1c2;(2)把a1,a2,c1,c2用十字相乘法得到a1c2+a2c1=b时停止;(3)二次三项式就可以分解为两个因式,即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
(2)若关于x的方程mx=8的解为自然数,且m为整数,求m的所有可能取值.
变式 求下列方程的解集.(1)(x+3)(x+1)=6x+2;(2)16(x-5)2-9(x+4)2=0;(3)ax=5x+7(a为常数).
[素养小结](1)求解方程问题关键是通过同解变形,得到满足等式成立时对应的x的值,一些变形过程要注意对等式性质的应用;(2)求解一元一次方程,若一次项系数含参数,则要对其是否为0的情况进行讨论,求解一元二次方程,可采用十字相乘法将其因式分解,要注意方程中各个系数是否满足应用十字相乘法的条件,否则可采用求根公式法或配方法进行求解.
1. 多项式2x2-xy-15y2的一个因式为(　 )A.2x-5yB.x-3yC.x+3yD.x-5y
[解析] 因为2x2-xy-15y2=(x-3y)(2x+5y),所以该多项式的因式为x-3y,2x+5y.故选B.
3. 分解因式x2+ax+b时,甲看错a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错b的值,分解的结果是(x-2)(x+1),则a+b=　　　　. 
[解析] 由(x+6)(x-1)=x2+5x-6,甲看错a的值,得b=-6.由(x-2)(x+1)=x2-x-2,乙看错b的值,得a=-1.∴a+b=-7.
因式分解的方法1.提取公因式法利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为“一找、二提、三去除”.“一找”就是第一步要找出多项式中各项的公因式;“二提”就是第二步将所找出的公因式提出来;“三去除”就是第三步提出公因式后,可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式,也可以用原多项式去除以公因式,所得的商即为提出公因式后剩下的一个因式.
例1 分解因式:9x3y-12x2y2+18x2y3z.
解:9x3y-12x2y2+18x2y3z=3x2y(3x-4y+6y2z).
2.分组法、公式法我们常见的一些乘法公式:(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;(3)立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3;(4)立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;(5)三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac);(6)两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(7)两数差立方公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.上述公式的逆过程,即为因式分解,所以一些多项式往往都是先分组,而后应用提取公因式法、十字相乘法、公式法进行因式分解.