2.1.1 等式的性质与方程的解集 教案

教学目标：

1.掌握等式的性质.

2.掌握几个重要的恒等式.

3.掌握因式分解中的十字相乘法.

4.规范方程的解集的书写.

【核心素养】

1.数学抽象：体会解方程所形成的等式思想和数学方法，理解等式的模型。

2.逻辑推理: 通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法。

3.直观想象：通过十字相乘法，建立数与形的关系，正确写出因式分解

4.数学运算: 掌握恒等式和解方程的运算法则，选择运算方法，求得运算结果。

5.数据分析: 例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法。

教学重点：

从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集.

教学难点：

熟练使用“十字相乘法”分解因式.

教学过程：

一、复习回顾：

【学生活动1】

1.自己阅读书P42 —《本章导语》；

2.再举出两个描述相等关系和不等关系的例子.

【设计意图】

使学生体会到相等关系与不等关系是数量关系中的两种重要的类型，它们分别对应的等式与不等式，是代数基础知识的重要组成部分.除了汇总学生所举出的实例外，也可以补充些数学中的实例，如：

（1） 勾股定理：c2=a2+b2；

（2） 费马大定理：xn+yn=zn(n>2，且n为整数）没有正整数解；

（3） 三角形两边之和大于第三边：a+c>b，a+b>c，b+c>a；

（4） 任何实数的平方非负：x2≥0.

【学生活动2】

3.回忆初中学习过哪些等式的性质；

4.用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗；

5.与同伴进行交流.

【设计意图】

回顾等式性质，为后面类比学习不等式性质做铺垫；复习第一章所学知识，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美.

二、讲授新课：

（一）等式的性质：

【学生活动3】

6.回答书中P43 — “尝试与发现”中的问题；

7.与同伴交流分类的标准.

【设计意图】

分类的标准可以有很多，可以帮助学生从多种角度认识等式；可以从量词的角度对等式进行分类.

（二）恒等式

含有字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.

1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

2.两数和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

【学生活动4】

8.计算：(a-b)2 和(a+b+c)2；

9.思考上面两个等式是恒等式吗？运算结果与(a+b)2=a2+2ab+b2的关系是什么？

10.用发现的结论继续完成下面的计算：

（1）(a-b+c)2；（2）(a-b-c)2；（3）(a+b-c)2

【设计意图】

借助恒等式教学，复习和介绍一些常用的乘法公式，并从量词的角度帮助学生认识和记忆公式.事实上，在恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2中，

用-b替换b，有：(a-b)2=a2-2ab+b2

用b+c替换b：(a-b+c)2=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

例1 化简(2x+1)2-(x-1)2.

解：(方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即

(2x +1)2-(x-1)2

= 4x2+4x+1-(x2-2x +1)

=3x2+6x .

(方法二）可以将2x +1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即

(2x +1)2-(x-1)2

=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]

= 3x(x + 2) = 3x2 +6x .

【设计意图】引导学生对比两种方法的优劣，培养学生选取适当方法进行运算的数学素养.

例2 （1）计算：(x-6)(x+1)

（2）分解因式：x2+5x+6

【设计意图】对比恒等式两个方向的运算差别；讲解“十字相乘法”分解因式.

【练习1】（1）计算：(x-2)(x-3)

（2）分解因式：x2+5x-6

答案:例2(1)x2-5x-6; (2）(x+2)(x+3)

练习1(1)x2-5x+6;(2）(x＋6)(x-1)

（三）方程的解集

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（或根）.

一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集.

例3 求方程x2+5x+6=0的解集.

解：因为x2+5x+6=(x+2)(x+3)

所以原方程可以化为(x＋2)x＋3)=0，

从而可知x+2=0或x＋3=0，

即x= -2或x =-3，

因此方程的解集为{-2,-3}

【设计意图】练习“十字相乘法”；复习集合的表达，可以让学生比较“描述法”与“列举法”的不同表达.

【练习2】求下列方程的解集：

(1)x2-5x+6=0;  (2) x2 -x-12=0;  (3）x2-2x+1=0

答案:（1）{2,3}  (2){4,-3} （3）{1}

【设计意图】巩固“十字相乘法”；熟练解集的表达；可根据学生情况增加适当的练习.

例4 求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数.

解：当a≠0时,在等式ax = 2两边同时乘以，得x =，此时解集为{}。

当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为Ø.

综上，当a≠0时，解集为{}，;当a=0时，解集为Ø.

【设计意图】此题可根据学生情况选做；熟悉分类讨论的方法；学会无解的表达为空集.

三、归纳总结：

1.等式的性质

2.恒等式

3.十字相乘法分解因式

4.方程的解集